1東京科学大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

まず、すべての項が 2 以上と仮定すると、(\*) の両辺を積で割って
$$\dfrac{1}{a_{2}a_{3}}+\dfrac{1}{a_{1}a_{3}}+\dfrac{1}{a_{1}a_{2}}=1$$
となるが、各項は $\dfrac{1}{4}$ 以下なので左辺は $\dfrac{3}{4}<1$ であり、矛盾する。よって順序条件から $a_{1}=1$ である。代入して
$$1+a_{2}+a_{3}=a_{2}a_{3}\quad\text{すなわち}\quad(a_{2}-1)(a_{3}-1)=2.$$
$a_{2}\leqq a_{3}$ より $(a_{2},a_{3})=(2,3)$。したがって解は $(1,2,3)$ のみである。

(2)

もしすべての $a_{i}\geqq 2$ なら、(\*) の両辺を積で割ると
$$1=\dfrac{1}{a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}+\dfrac{1}{a_{1}a_{3}\cdots a_{n}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}}\leqq\dfrac{n}{2^{n-1}}<1\quad(n\geqq 3)$$
となり、矛盾する。最後の不等式は $2^{n-1}>n$（$n=3$ で成立し、$n$ を 1 増やすと保たれる）による。よって少なくとも 1 つの $a_{i}$ は 1 である。

(3)

二つの 1 を取り除き、残りを $b_{1},\cdots,b_{m}\geqq 2$ とすると $m=n-2$ で、
$$2+\sum_{i=1}^{m}b_{i}=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{m}.$$
$m=1$ は不可能である。$m=2$ では $(b_{1}-1)(b_{2}-1)=3$ より、順不同で $(b_{1},b_{2})=(2,4)$ となり、$n=4$ が可能である。$m\geqq 3$ では $D=b_{1}\times\cdots\times b_{m}-\sum_{i=1}^{m}b_{i}-2$ は各変数を増やすと増加する。したがって $D$ の最小値は全て 2 のときで、その値は $2^{m}-2m-2$ である。$m=3$ では最小値は 0 で、等号は全て 2 の場合に限るから $n=5$ が可能である。$m=4$ では最小値は 6 であり、以後も増加するので、それ以上は不可能である。よって $n=4,\,5$ である。