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関西医科大学／2025年度／後期

3関西医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

数列

難易度必答 レベル 3/10 目安 10分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

関西医科大学2025年度第3問
数列 {an}\{a_{n}\} を、a1=1a_{1}=1、a2=2a_{2}=2、nan+2−2(n+1)an+1+(n+2)an=0 (n=1, 2, 3, ⋯ )na_{n+2}-2(n+1)a_{n+1}+(n+2)a_{n}=0\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) と定める。また、{an}\{a_{n}\} の階差数列 {bn}\{b_{n}\} を bn=an+1−an (n=1, 2, 3, ⋯ )b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) と定める。以下の設問に答えよ。

(1) bn+1b_{n+1} を bnb_{n} を用いて表せ。

(2) 数列 {bn}\{b_{n}\} の一般項を求めよ。

(3) 数列 {an}\{a_{n}\} の一般項を求めよ。

出典：関西医科大学 2025年度 後期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    bn+1=n+2nbnb_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}b_{n}
  • (2)
    bn=n(n+1)2b_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}
  • (3)
    an=(n−1)n(n+1)6+1a_{n}=\dfrac{(n-1)n(n+1)}{6}+1

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

漸化式を n(an+2−an+1)=(n+2)(an+1−an)n(a_{n+2}-a_{n+1})=(n+2)(a_{n+1}-a_{n}) と組み直す。(2) は積の形になり、分子と分母が大きく約分される。

解答

(1) 漸化式は n(an+2−an+1)−(n+2)(an+1−an)=0n(a_{n+2}-a_{n+1})-(n+2)(a_{n+1}-a_{n})=0 と書けるので nbn+1=(n+2)bnnb_{n+1}=(n+2)b_{n}、
bn+1=n+2nbn. b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}b_{n}.

(2) b1=a2−a1=1b_{1}=a_{2}-a_{1}=1。n≧2n\geqq2 のとき
bn=b1⋅31⋅42⋅53⋯n+1n−1=n(n+1)1⋅2. b_{n}=b_{1}\cdot\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{4}{2}\cdot\dfrac{5}{3}\cdots\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{n(n+1)}{1\cdot2}.
n=1n=1 でも成り立つので bn=n(n+1)2b_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}。

(3) n≧2n\geqq2 のとき
an=1+∑k=1n−1k(k+1)2=1+(n−1)n(n+1)6. a_{n}=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k(k+1)}{2}=1+\dfrac{(n-1)n(n+1)}{6}.
n=1n=1 でも成り立つ。（確かめ：a3=5a_{3}=5 は漸化式 a3−4a2+3a1=0a_{3}-4a_{2}+3a_{1}=0 と合う。）

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 階差数列
  • 積の形の漸化式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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