1関西医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

最短経路は右へ4回、下へ5回。右へ進む4回の高さを $\dfrac{k_{1}}{5},\,\cdots,\,\dfrac{k_{4}}{5}$（$5\geqq k_{1}\geqq\cdots\geqq k_{4}\geqq0$）とすると、$S=\dfrac{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}{20}$。面積の条件は $k$ の和の条件になり、分割の数え上げに帰着する。

(1) 右4回・下5回の並べ方で ${}_{9}\mathrm{C}_{4}=126$ 通り。

右へ進む4回の高さを順に $\dfrac{k_{1}}{5},\,\dfrac{k_{2}}{5},\,\dfrac{k_{3}}{5},\,\dfrac{k_{4}}{5}$ とすると $5\geqq k_{1}\geqq k_{2}\geqq k_{3}\geqq k_{4}\geqq0$ で、道順とこの数の組は1対1に対応する。経路の下の面積は
$$S=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}{5}=\dfrac{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}{20}.$$

(2) $k$ の和が8。8を5以下の4個以下の自然数の和に分ける方法：$5+3,\ 5+2+1,\ 5+1+1+1,\ 4+4,\ 4+3+1,\ 4+2+2,\ 4+2+1+1,\ 3+3+2,\ 3+3+1+1,\ 3+2+2+1,\ 2+2+2+2$ の 11 通り。

(3) $k$ の和が15。$d_{i}=5-k_{i}$ の和は5で、5を4個以下の自然数の和に分ける方法 $5,\ 4+1,\ 3+2,\ 3+1+1,\ 2+2+1,\ 2+1+1+1$ の 6 通り。対応する $(k_{1},\,k_{2},\,k_{3},\,k_{4})$ は
$$(5,5,5,0),\ (5,5,4,1),\ (5,5,3,2),\ (5,4,4,2),\ (5,4,3,3),\ (4,4,4,3).$$

(4) $x+y$ は右へ進むと増え、下へ進むと減るので、最大・最小は経路の角でとる。右に $i$ 回進んだ直後の点 $\left(\dfrac{i}{4},\,\dfrac{k_{i}}{5}\right)$ で極大、その後下りきった点 $\left(\dfrac{i}{4},\,\dfrac{k_{i+1}}{5}\right)$ で極小になる。

最大：$\dfrac{i}{4}+\dfrac{k_{i}}{5}$ は $(5,5,5,0)$ の $i=3$ で $\dfrac{3}{4}+1=\dfrac{7}{4}$ が最大（$i=4$ は $k_{4}\leqq4$ で $1+\dfrac{4}{5}<\dfrac{7}{4}$、$i\leqq3$ では $\dfrac{3}{4}+1$ 以下）。

最小：$\dfrac{i}{4}+\dfrac{k_{i+1}}{5}$（$k_{0}$ は始点の1、終点は $x+y=1$）は $(5,5,5,0)$ の $i=3$ で $\dfrac{3}{4}+0=\dfrac{3}{4}$ が最小（ほかの組では $k_{4}\geqq1$ なので $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{5}$ 以上、$i\leqq2$ では $k_{3}\geqq3$ なので1以上）。

各経路で $x+y$ は始点の値1を含む区間を連続的に動くので、とりうる値の範囲は $\dfrac{3}{4}\leqq x+y\leqq\dfrac{7}{4}$。