1問題
関西医科大学2025年度第2問
実数
a を用いて、関数
f(x) を
f(x)=x4−6x2−4ax と定める。
α,β,γ が互いに異なる実数であるとき、
f(x) は
x=α、
x=β、
x=γ でそれぞれ極値をとる。以下の設問に答えよ。
(1)
a のとりうる値の範囲を求めよ。
(2)
(1−α)(1−β)(1−γ) を
a を用いて表せ。
(3)
(1+α)(1+β)(1+γ) を
a を用いて表せ。
(4)
(1−α2)(1−β2)(1−γ2) のとりうる値の範囲を求めよ。
出典：関西医科大学 2025年度 後期 数学 第2問
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2答え
答えを見る自分の答えと照らし合わせる
(4)0<(1−α2)(1−β2)(1−γ2)≦4
3解答
解答を見る途中式つきの解答
考え方
f′(x)=4(x3−3x−a) なので、
α,β,γ は
x3−3x−a=0 の異なる3実数解。
x3−3x−a=(x−α)(x−β)(x−γ) に
x=±1 を代入する。
解答
f′(x)=4x3−12x−4a=4(x3−3x−a)。極値をとる3点は、
x3−3x−a=0 の異なる3つの実数解（符号が変わる）。
(1)
y=x3−3x は
x=−1 で極大値2、
x=1 で極小値
−2 をとるので、直線
y=a と3点で交わる条件は
−2<a<2。
(2)
x3−3x−a=(x−α)(x−β)(x−γ) に
x=1 を代入して
(1−α)(1−β)(1−γ)=1−3−a=−a−2.(3)
x=−1 を代入すると
−(1+α)(1+β)(1+γ)=−1+3−a なので
(1+α)(1+β)(1+γ)=a−2.(4) (2)(3) の積で
(1−α2)(1−β2)(1−γ2)=(−a−2)(a−2)=4−a2。
−2<a<2 より
0<4−a2≦4（等号は
a=0）。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。
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