4関西医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$\mathrm{N}=\dfrac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}$ を計算し、2倍角の公式で $\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ を $(\cos\theta,\,\sin\theta)$ の何倍かで表す。するとDを極とする極方程式が得られる。(4) は和積の公式で、接線の向きと $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ がともに $(-\sin\frac{3\theta}{2},\,\cos\frac{3\theta}{2})$ の実数倍になることを示す。

(1) $\mathrm{N}=\dfrac{2\mathrm{A}+\mathrm{B}}{3}=\left(\dfrac{2\cos\theta+\cos2\theta}{3},\,\dfrac{2\sin\theta+\sin2\theta}{3}\right)$。
$$\overrightarrow{\mathrm{DN}}=\left(\dfrac{2\cos\theta+\cos2\theta+1}{3},\,\dfrac{2\sin\theta+\sin2\theta}{3}\right)=\left(\dfrac{2\cos\theta(1+\cos\theta)}{3},\,\dfrac{2\sin\theta(1+\cos\theta)}{3}\right)=\dfrac{2(1+\cos\theta)}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}.$$
$1+\cos\theta>0$ なので $\mathrm{OA}/\!/\mathrm{DN}$。

(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$ より $\mathrm{DN}=\dfrac{2(1+\cos\theta)}{3}$。

(3) (1)(2) より、Nは Dを極、$x$ 軸の正の向きを始線とする極座標で $r=\dfrac{2}{3}(1+\cos\theta)$（$0<\theta<\pi$）の点。これは心臓形（カージオイド）の上半分である。主な点：$\theta\to0$ で $(1,\,0)$ に近づき、$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ で $y$ 座標が最大の点 $\left(\dfrac{1}{6},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ で $\left(-\dfrac{1}{3},\,\dfrac{2}{3}\right)$、$\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ で $x$ 座標が最小の点 $\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)$、$\theta\to\pi$ で $\mathrm{D}$ に近づく（Dでは $x$ 軸に接するようにとがる）。両端の $(1,\,0)$ と $\mathrm{D}$ は含まない。

(4) Nは線分AB上にある。$C$ のNでの接線の向きは
$$\dfrac{d\mathrm{N}}{d\theta}=\dfrac{2}{3}(-\sin\theta-\sin2\theta,\ \cos\theta+\cos2\theta)=\dfrac{4}{3}\cos\dfrac{\theta}{2}\left(-\sin\dfrac{3\theta}{2},\ \cos\dfrac{3\theta}{2}\right).$$
一方
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\cos2\theta-\cos\theta,\ \sin2\theta-\sin\theta)=2\sin\dfrac{\theta}{2}\left(-\sin\dfrac{3\theta}{2},\ \cos\dfrac{3\theta}{2}\right).$$
$0<\theta<\pi$ では $\cos\dfrac{\theta}{2}>0$、$\sin\dfrac{\theta}{2}>0$ なので、2つは0でない平行なベクトル。よって直線ABは、Nにおける $C$ の接線であり、$C$ に接する。