III関西医科大学 2024年 数学 第III問解答・解説

$z=\dfrac{a}{2}+ti$（$t$ は実数）とおき、$w=u+vi$ として $C$・$D$ の方程式を求める。$C$ は放物線、$D$ は原点を除く円になる。$v^{2}$ を消して $u$ の2次方程式にし、解の個数と符号を調べる。

$z=\dfrac{a}{2}+ti$（$t$ は実数）とおき、$w=u+vi$ と書く。

$C$：$z^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}-t^{2}+ati$ より $u=\dfrac{a^{2}}{4}-t^{2}$、$v=at$。$t$ を消して
$$C:\ v^{2}=\dfrac{a^{4}}{4}-a^{2}u .$$
$D$：$w=-\dfrac{1}{z}$ とすると $z=-\dfrac{1}{w}$ で、$z+\overline{z}=a$ より $-\dfrac{1}{w}-\dfrac{1}{\overline{w}}=a$、すなわち $-(w+\overline{w})=a|w|^{2}$。よって
$$D:\ u^{2}+v^{2}+\dfrac{2}{a}u=0\quad((u,\,v)\neq(0,\,0)),$$
中心 $-\dfrac{1}{a}$、半径 $\dfrac{1}{a}$ の円から原点を除いたもの。

共有点：$C$ の $v^{2}$ を $D$ に代入して
$$u^{2}+\left(\dfrac{2}{a}-a^{2}\right)u+\dfrac{a^{4}}{4}=0 \quad\cdots\text{①}$$
① の実数解 $u$ で $v^{2}=\dfrac{a^{4}}{4}-a^{2}u>0$ となるものごとに、共有点が $v=\pm\sqrt{v^{2}}$ の2個ずつある（$v^{2}=0$ なら $u=\dfrac{a^{2}}{4}$ で ① を満たさない。また $u=0$ は ① を満たさないので原点は除かれない）。

① の判別式は $\left(\dfrac{2}{a}-a^{2}\right)^{2}-a^{4}=\dfrac{4(1-a^{3})}{a^{2}}$。解の積は $\dfrac{a^{4}}{4}>0$、和は $a^{2}-\dfrac{2}{a}$ で、$a\leqq1$ なら和は負だから、実数解はどちらも負。負の $u$ では $v^{2}=\dfrac{a^{4}}{4}-a^{2}u>0$。

- $0<a<1$：異なる2つの負の解 → 共有点 4 個。
- $a=1$：重解 $u=-\dfrac{1}{2}$、$v^{2}=\dfrac{3}{4}$ → 共有点 2 個。
- $a>1$：実数解なし → 0 個。