IV関西医科大学 2024年 数学 第IV問解答・解説

Aを原点、$l_{1}$ を $x$ 軸、$l_{2}$ を $y$ 軸にとる。外接の条件は中心間の距離＝半径の和。$l_{3}$ は、2円の中心からの距離がそれぞれ半径になる直線（共通接線は3本）から、$\mathrm{O}_{1}$ の中心までの距離が1より大きいものを選ぶ。

A を原点、$l_{1}$ を $x$ 軸、$l_{2}$ を $y$ 軸とし、$\mathrm{O}_{1}$ の中心を $\mathrm{P}_{1}(0,\,1)$ とする（$l_{2}$ は $\mathrm{P}_{1}$ を通る）。

$\mathrm{O}_{2}$ の中心 $(0,\,c)$ は $|c-1|=1+4=5$ より $c=6$ または $-4$。$c=-4$ だと接点が A になるので、中心は $\mathrm{P}_{2}(0,\,6)$。

(1)(2) $\mathrm{O}_{3}$ の中心を $\mathrm{P}_{3}(b,\,r)$ とする（$l_{1}$ の下側にあると $\mathrm{O}_{1}$ に外接できない）。外接の条件から
$$b^{2}+(r-1)^{2}=(r+1)^{2},\qquad b^{2}+(r-6)^{2}=(r+4)^{2}$$
すなわち $b^{2}=4r$、$b^{2}=20r-20$。よって $r=\dfrac{5}{4}$、$b^{2}=5$。対称なので $b=\sqrt{5}$ としてよく、$\mathrm{B}(\sqrt{5},\,0)$、$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$。

(3)(4) $\mathrm{O}_{2}$ と $\mathrm{O}_{3}$ は外接しているので、共通接線は接点での接線1本と、外側の共通接線2本。

接点での接線：$\mathrm{P}_{2}\mathrm{P}_{3}=\dfrac{21}{4}$ で、接点は $\mathrm{T}\left(\dfrac{16\sqrt{5}}{21},\,\dfrac{50}{21}\right)$。この接線と $\mathrm{P}_{1}$ の距離は $\dfrac{11}{21}<1$ なので $\mathrm{O}_{1}$ と交わり、不適。

外側の共通接線を $n_{x}x+n_{y}y=d$（$n_{x}^{2}+n_{y}^{2}=1$）とし、$\mathrm{P}_{2},\,\mathrm{P}_{3}$ が同じ側にあるとして
$$6n_{y}-d=4,\qquad \sqrt{5}\,n_{x}+\dfrac{5}{4}n_{y}-d=\dfrac{5}{4}.$$
差をとって $-\sqrt{5}\,n_{x}+\dfrac{19}{4}n_{y}=\dfrac{11}{4}$。これと $n_{x}^{2}+n_{y}^{2}=1$ を解くと
$$(n_{x},\,n_{y})=\left(\dfrac{12\sqrt{5}}{49},\,\dfrac{41}{49}\right),\ \left(-\dfrac{4\sqrt{5}}{9},\,\dfrac{1}{9}\right).$$
$\mathrm{P}_{1}$ からの距離は $|n_{y}-d|=|4-5n_{y}|$ で、前者は $\dfrac{9}{49}<1$（不適）、後者は $\dfrac{31}{9}>1$（適）。よって $d=6\cdot\dfrac{1}{9}-4=-\dfrac{10}{3}$ で
$$l_{3}:\ y=4\sqrt{5}\,x-30 .$$
$y=0$ として $\mathrm{C}\left(\dfrac{3\sqrt{5}}{2},\,0\right)$、$x=0$ として $\mathrm{D}(0,\,-30)$。よって $\mathrm{AC}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$、$\mathrm{AD}=30$。

（確かめ：$l_{3}$ と $\mathrm{P}_{2}$ の距離は $\dfrac{36}{9}=4$、$\mathrm{P}_{3}$ の距離は $\dfrac{45/4}{9}=\dfrac{5}{4}$。）