4東京慈恵会医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

単位円上のzを三角表示して像の軌跡を消去法で求める。楕円内部の点からの直線を単位方向で媒介変数表示し、交点パラメータの積を二次方程式の係数から求める。方向に依存する係数の最小値と等号条件を調べる。

(1)

$|z|=1$ なので、ある実数 $\theta$ を用いて $z=\cos\theta+i\sin\theta$ と表せる。また $\dfrac{1}{z}=\overline{z}=\cos\theta-i\sin\theta$ である。したがって
$$w=z+\dfrac2z=3\cos\theta-i\sin\theta.$$
$w=u+vi$ と比較すると $u=3\cos\theta$、$v=-\sin\theta$ だから
$$\dfrac{u^2}{9}+v^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$
よって $C$ はこの楕円である。

(2)

$\alpha=x_0+y_0i$ とおく。$\alpha$ は楕円の内部にあるから $\dfrac{x_0^2}{9}+y_0^2<1$ である。$\ell$ の単位方向ベクトルを $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ とし、$\ell$ 上の点を
$$(x,y)=(x_0+t\cos\varphi,\ y_0+t\sin\varphi)$$
と表す。楕円との交点に対応する $t$ を $t_1,t_2$ とすると、楕円の方程式から
$$\left(\dfrac{\cos^2\varphi}{9}+\sin^2\varphi\right)t^2 +2\left(\dfrac{x_0\cos\varphi}{9}+y_0\sin\varphi\right)t +\left(\dfrac{x_0^2}{9}+y_0^2-1\right)=0.$$
$\alpha$ は内部点なので $t_1<0<t_2$ であり、$|\beta_1-\alpha||\beta_2-\alpha|=(-t_1)t_2=-t_1t_2$ となる。二次方程式の解と係数の関係より
$$|\beta_1-\alpha||\beta_2-\alpha| =\dfrac{1-\left(\dfrac{x_0^2}{9}+y_0^2\right)}{\dfrac{\cos^2\varphi}{9}+\sin^2\varphi}.$$
分子は正で一定であり、分母は
$$\dfrac{\cos^2\varphi}{9}+\sin^2\varphi=\dfrac19+\dfrac89\sin^2\varphi\geqq\dfrac19$$
である。等号は $\sin\varphi=0$ のとき、すなわち $\ell$ が実軸に平行なときに成立する。したがって求める直線は $\alpha$ を通る水平線 $v=y_0$ であり、積の最大値は
$$9\left(1-\dfrac{x_0^2}{9}-y_0^2\right)$$
である。検算として、この直線では楕円との交点が $x=\pm3\sqrt{1-y_0^2}$ であり、二距離の積は $9(1-y_0^2)-x_0^2$、すなわち上の最大値と一致する。