I関西医科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

(1) は等比数列の和。(2) は $\cos$ の和を複素数 $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ のべきの和の実部とみて、(1) で 0 になることを使う。平均・分散・共分散を順に求める。

(1) $\alpha\neq 1$ だから、等比数列の和の公式より
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha^{k}\beta=\beta\cdot\dfrac{\alpha(\alpha^{n}-1)}{\alpha-1}=0 .$$

(2) $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ とおく。$\omega^{n}=1$、$\omega\neq1$ であり、$n\geqq3$ より $\omega^{2}\neq1$、$(\omega^{2})^{n}=1$ でもある。(1) で $\beta=\cos c+i\sin c$（$c$ は実数）とすると、実部を比べて
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\dfrac{2\pi k}{n}+c\right)=0,\qquad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\dfrac{4\pi k}{n}+c\right)=0 \quad\cdots\text{①}$$
（後者は $\alpha=\omega^{2}$ とした）。$\theta_{k}=\dfrac{2\pi k}{n}$ と書く。

平均：① より $\displaystyle\sum x_{k}=\sum\cos(\theta_{k}+a)=0$、$\displaystyle\sum y_{k}=0$。よって $\overline{x}=\overline{y}=0$。

分散：$\cos^{2}(\theta_{k}+a)=\dfrac{1+\cos(2\theta_{k}+2a)}{2}$ と ① より
$$\displaystyle\sum x_{k}^{2}=\dfrac{n}{2},\qquad \text{同様に}\ \displaystyle\sum y_{k}^{2}=\dfrac{n}{2}.$$
共分散：$\cos(\theta_{k}+a)\cos(\theta_{k}-a)=\dfrac{\cos 2\theta_{k}+\cos 2a}{2}$ と ① より
$$\displaystyle\sum x_{k}y_{k}=\dfrac{n\cos 2a}{2}.$$
平均が 0 なので、相関係数は
$$r=\dfrac{\sum x_{k}y_{k}}{\sqrt{\sum x_{k}^{2}}\sqrt{\sum y_{k}^{2}}}=\dfrac{\frac{n}{2}\cos 2a}{\frac{n}{2}}=\cos 2a .$$
（$0\leqq a\leqq\dfrac{\pi}{2}$ のとき $-1\leqq r\leqq 1$ で、$a=0$ なら $x_{k}=y_{k}$ となり $r=1$ で合う。）