5新潟大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) $P=(p,0),\ Q=(0,q)$ とおく。$PR:RQ=a:(1-a)$ なので、内分点の公式から $R=((1-a)p,aq)$ である。
$$x=(1-a)p,\qquad y=aq.$$
$PQ=4$ より $p^2+q^2=16$ だから、$p=x/(1-a),\ q=y/a$ を代入して
$$\frac{x^2}{(1-a)^2}+\frac{y^2}{a^2}=16,\qquad \text{したがって}\quad \frac{x^2}{16(1-a)^2}+\frac{y^2}{16a^2}=1.$$

(2) $X=\frac{x}{4(1-a)},\ Y=\frac{y}{4a}$ とおくと、楕円の内部は $X^2+Y^2\leqq1$ である。また
$$x\geqq0\quad\text{すなわち}\quad X\geqq0,\qquad \sqrt3ax\geqq(1-a)y\quad\text{すなわち}\quad Y\leqq\sqrt3X.$$
ここで $0<a<1$ なので、後者は正の $4a(1-a)$ で割った。単位円内の領域は、極角 $-\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{3}$ の扇形であり、その面積は
$$\frac12\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{5\pi}{12}.$$
$X$ 方向を $4(1-a)$ 倍、$Y$ 方向を $4a$ 倍するので、面積は $16a(1-a)$ 倍になる。したがって
$$S=16a(1-a)\cdot\frac{5\pi}{12} =\frac{20\pi}{3}a(1-a).$$

(3) 平方完成すると
$$S=\frac{20\pi}{3}a(1-a) =\frac{20\pi}{3}\left\{\frac14-\left(a-\frac12\right)^2\right\} \leqq\frac{5\pi}{3}.$$
等号は $a=\frac12$ のときに成り立つから、最大値は $\frac{5\pi}{3}$、そのときの $a$ は $\frac12$ である。

内分点を$R=((1-a)p,aq)$と表し、$p^2+q^2=16$から楕円方程式を得る。楕円を$X=\frac{x}{4(1-a)},\ Y=\frac{y}{4a}$で単位円に写すと共通領域は角$-\frac{\pi}{2}$ から $\frac{\pi}{3}$の扇形で、横方向と縦方向の拡大率の積$16a(1-a)$を掛けた面積は$\frac{20\pi}{3}a(1-a)$。平方完成により最大は$\frac{5\pi}{3}$（$a=\frac12$）。