II関西医科大学 2024年 数学 第II問解答・解説

桁を1つ増やすと、$S_{n}$ 全体を $(-2)^{n}$ だけずらしたものが加わる。ずらす幅の絶対値 $2^{n}$ が $S_{n}$ の個数と同じなので、すき間なくつながる。具体的な数は、2で割った余りから下の桁を順に決める。

(1) $4a_{3}-2a_{2}+a_{1}$ の8通りを計算すると $0,1,-2,-1,4,5,2,3$。よって $S_{3}=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$。

(2) $n$ に関する数学的帰納法で、「$S_{n}$ は連続する $2^{n}$ 個の整数」を示す。$n=1$ では $S_{1}=\{0,1\}$ で成り立つ。

$S_{n}=\{m,\,m+1,\,\cdots,\,m+2^{n}-1\}$ とする。$[a_{n+1}a_{n}\cdots a_{1}]=a_{n+1}(-2)^{n}+[a_{n}\cdots a_{1}]$ だから
$$S_{n+1}=S_{n}\cup\left(S_{n}+(-2)^{n}\right).$$
$n$ が偶数なら $S_{n}+2^{n}=\{m+2^{n},\,\cdots,\,m+2^{n+1}-1\}$ で、$S_{n}$ のすぐ上に続く。$n$ が奇数なら $S_{n}-2^{n}=\{m-2^{n},\,\cdots,\,m-1\}$ で、$S_{n}$ のすぐ下に続く。どちらも重なりなく連続するので、$S_{n+1}$ は連続する $2^{n+1}$ 個の整数である。

$(a_{n},\cdots,a_{1})$ の組は $2^{n}$ 通りで、その値全体 $S_{n}$ がちょうど $2^{n}$ 個の整数だから、異なる組は異なる整数を表す。よって $S_{n}$ の各要素の表し方はただ一通りである。

(3) $x=[a_{n}\cdots a_{1}]$ なら $a_{1}$ は $x$ を2で割った余りで、$\dfrac{x-a_{1}}{-2}=[a_{n}\cdots a_{2}]$。これをくり返す。
$$-24\to(a_{1}=0)\ 12\to(0)\ -6\to(0)\ 3\to(1)\ -1\to(1)\ 1\to(1)\ 0 .$$
よって $-24=[111000]$。確かめ：$-32+16-8=-24$。

(4) 同様に
$$2024\to(0)\,-1012\to(0)\,506\to(0)\,-253\to(1)\,127\to(1)\,-63\to(1)\,32\to(0)\,-16\to(0)\,8\to(0)\,-4\to(0)\,2\to(0)\,-1\to(1)\,1\to(1)\,0 .$$
下の桁から $0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1$ なので $2024=[1100000111000]$。確かめ：$4096-2048-32+16-8=2024$。