4関西医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

円 $x^{2}+y^{2}+px+qy+r=0$ と $y=x^{2}$ を連立すると $x^{3}$ の項のない4次方程式になり、$a+b+c+d=0$。放物線上の2点を結ぶ直線の傾きは $x$ 座標の和。$s=a+c$、$t=ac$、$u=bd$ とおいて条件を式にし、大小の条件で符号を決める。

円を $x^{2}+y^{2}+px+qy+r=0$ とすると、$y=x^{2}$ との交点の $x$ 座標は
$$x^{4}+(1+q)x^{2}+px+r=0$$
の4解で、$x^{3}$ の項がないから $a+b+c+d=0$。

$s=a+c$、$t=ac$、$u=bd$ とおくと $b+d=-s$。直線ACの傾きは $a+c=s$、BDの傾きは $b+d=-s$。直交するので $-s^{2}=-1$、$s^{2}=1$。

直線ACは $y=sx-t$。$\mathrm{M}\left(-\dfrac{s}{2},\,\dfrac{b^{2}+d^{2}}{2}\right)=\left(-\dfrac{s}{2},\,\dfrac{s^{2}-2u}{2}\right)$ がAC上にあるから $\dfrac{s^{2}-2u}{2}=-\dfrac{s^{2}}{2}-t$、すなわち $u=t+1$。

$\mathrm{AC}^{2}=(c-a)^{2}(1+s^{2})=2(1-4t)$、$\mathrm{BD}^{2}=(d-b)^{2}(1+s^{2})=2(1-4u)=2(-3-4t)$。$\mathrm{AC}^{2}=2\mathrm{BD}^{2}$ より $1-4t=-6-8t$、$t=-\dfrac{7}{4}$、$u=-\dfrac{3}{4}$。

(1) $a,\,c=\dfrac{s\mp2\sqrt{2}}{2}$、$b,\,d=\dfrac{-s\mp2}{2}$。$s=1$ なら $b=-\dfrac{3}{2}<a$ となり $a<b$ に反する。$s=-1$ なら $a=\dfrac{-1-2\sqrt{2}}{2}<b=-\dfrac{1}{2}<c=\dfrac{-1+2\sqrt{2}}{2}<d=\dfrac{3}{2}$ で条件を満たす。よって $a+c=-1$。

(2)(3) 4次式は $(x^{2}-sx+t)(x^{2}+sx+u)=x^{4}+(t+u-s^{2})x^{2}+s(t-u)x+tu$ と等しいから
$$1+q=t+u-s^{2}=-\dfrac{7}{2},\quad p=s(t-u)=1,\quad r=tu=\dfrac{21}{16}.$$
よって $E:\ x^{2}+y^{2}+x-\dfrac{9}{2}y+\dfrac{21}{16}=0$、すなわち
$$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{9}{4}\right)^{2}=4 .$$
Qの $x$ 座標は $-\dfrac{1}{2}$、Mの $x$ 座標は $-\dfrac{s}{2}=\dfrac{1}{2}$。

（確かめ：$\mathrm{B}\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4}\right)$ は $0^{2}+(-2)^{2}=4$ を満たす。）