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関西医科大学／2024年度／後期

3関西医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

数列

難易度必答 レベル 4/10 目安 15分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

関西医科大学2024年度第3問
数列 {an}\{a_{n}\} の初項 a1a_{1} から第 nn 項までの和を SnS_{n} とする。{an}\{a_{n}\} を a1=2a_{1}=2、an+1=Sn−n(n−4) (n=1, 2, 3, ⋯ )a_{n+1}=S_{n}-n(n-4)\ (n=1,\,2,\,3,\,\cdots) で定めるとき、ana_{n} と SnS_{n} をそれぞれ nn の式で表せ。

出典：関西医科大学 2024年度 後期 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • a1=2a_{1}=2、n≧2n\geqq2 のとき an=2n+2n−3a_{n}=2^{n}+2n-3
  • Sn=2n+1+n2−2n−1S_{n}=2^{n+1}+n^{2}-2n-1

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

nn と n−1n-1 の式を引いて SnS_{n} を消すと、an+1=2an−2n+5a_{n+1}=2a_{n}-2n+5（n≧2n\geqq2）。これは n=1n=1 では成り立たないので、a2a_{2} から始める。SnS_{n} は与式から Sn=an+1+n(n−4)S_{n}=a_{n+1}+n(n-4)。

解答

a2=S1−1⋅(−3)=5a_{2}=S_{1}-1\cdot(-3)=5。

n≧2n\geqq2 のとき、an+1=Sn−n(n−4)a_{n+1}=S_{n}-n(n-4) と an=Sn−1−(n−1)(n−5)a_{n}=S_{n-1}-(n-1)(n-5) を引いて
an+1−an=an−(2n−5),an+1=2an−2n+5(n≧2). a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-(2n-5),\qquad a_{n+1}=2a_{n}-2n+5\quad(n\geqq2).
an=bn+2n−3a_{n}=b_{n}+2n-3 とおくと bn+1=2bnb_{n+1}=2b_{n}（n≧2n\geqq2）、b2=a2−1=4b_{2}=a_{2}-1=4。よって bn=2nb_{n}=2^{n} で
an=2n+2n−3(n≧2),a1=2. a_{n}=2^{n}+2n-3\quad(n\geqq2),\qquad a_{1}=2 .
（n=1n=1 を代入すると 1 となり a1a_{1} と異なる。）

また与式より Sn=an+1+n(n−4)=2n+1+2(n+1)−3+n2−4nS_{n}=a_{n+1}+n(n-4)=2^{n+1}+2(n+1)-3+n^{2}-4n、すなわち
Sn=2n+1+n2−2n−1(n≧1). S_{n}=2^{n+1}+n^{2}-2n-1\quad(n\geqq1).
（確かめ：S1=2S_{1}=2、S2=7S_{2}=7、S3=18=2+5+11S_{3}=18=2+5+11。）

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 和と一般項の関係
  • 漸化式の変形

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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