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関西医科大学／2024年度／後期

2関西医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

積分法指数関数・対数関数

難易度勝負 レベル 5/10 目安 20分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

関西医科大学2024年度第2問
0≦x0\leqq x の範囲で定義される関数 f(x)=2xf(x)=2\sqrt{x} と g(x)=6x2x+1g(x)=\dfrac{6x}{2x+1} がある。y=f(x)y=f(x) のグラフと y=g(x)y=g(x) のグラフで囲まれる部分の面積を SS とするとき、以下の設問に答えよ。

(1) SS の値を求めよ。

(2) 0<S<180<S<\dfrac{1}{8} であることを示せ。なお必要があれば、自然対数の底 ee が 2.71<e<2.722.71<e<2.72 を満たすことを用いてよい。

出典：関西医科大学 2024年度 後期 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    S=12−32log⁡43S=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\log\dfrac{4}{3}
  • (2)
    （証明）(43)3<e<(43)4\left(\dfrac{4}{3}\right)^{3}<e<\left(\dfrac{4}{3}\right)^{4} から従う。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

交点は x=0, 14, 1x=0,\,\dfrac{1}{4},\,1 で、囲まれる部分は 0≦x≦140\leqq x\leqq\dfrac{1}{4}（ff が上）と 14≦x≦1\dfrac{1}{4}\leqq x\leqq1（gg が上）の2つ。g(x)=3−32x+1g(x)=3-\dfrac{3}{2x+1} と変形して積分する。(2) は不等式を ee と 43\dfrac{4}{3} のべきの比較に直す。

解答

(1) 交点：2x=6x2x+12\sqrt{x}=\dfrac{6x}{2x+1} は x=0x=0 か、x=s\sqrt{x}=s として 2s2−3s+1=02s^{2}-3s+1=0、すなわち s=12, 1s=\dfrac{1}{2},\,1。よって x=0, 14, 1x=0,\,\dfrac{1}{4},\,1。0<x<140<x<\dfrac{1}{4} では f>gf>g、14<x<1\dfrac{1}{4}<x<1 では g>fg>f、x>1x>1 では f>gf>g なので、囲まれる部分は 0≦x≦10\leqq x\leqq1 の2つの部分である。

∫f(x) dx=43x32\displaystyle\int f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}、g(x)=3−32x+1g(x)=3-\dfrac{3}{2x+1} より ∫g(x) dx=3x−32log⁡(2x+1)\displaystyle\int g(x)\,dx=3x-\dfrac{3}{2}\log(2x+1)。
∫014(f−g) dx=16−34+32log⁡32=−712+32log⁡32, \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}}(f-g)\,dx=\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}\log\dfrac{3}{2}=-\dfrac{7}{12}+\dfrac{3}{2}\log\dfrac{3}{2},
∫141(g−f) dx=(94−32log⁡2)−76=1312−32log⁡2. \displaystyle\int_{\frac{1}{4}}^{1}(g-f)\,dx=\left(\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{2}\log 2\right)-\dfrac{7}{6}=\dfrac{13}{12}-\dfrac{3}{2}\log 2 .
足して
S=12+32log⁡34=12−32log⁡43. S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\log\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\log\dfrac{4}{3}.

(2) S>0  ⟺  log⁡43<13  ⟺  (43)3<eS>0\iff\log\dfrac{4}{3}<\dfrac{1}{3}\iff\left(\dfrac{4}{3}\right)^{3}<e。(43)3=6427<2.4<2.71<e\left(\dfrac{4}{3}\right)^{3}=\dfrac{64}{27}<2.4<2.71<e なので成り立つ。

S<18  ⟺  32log⁡43>38  ⟺  log⁡43>14  ⟺  (43)4>eS<\dfrac{1}{8}\iff\dfrac{3}{2}\log\dfrac{4}{3}>\dfrac{3}{8}\iff\log\dfrac{4}{3}>\dfrac{1}{4}\iff\left(\dfrac{4}{3}\right)^{4}>e。(43)4=25681>3>2.72>e\left(\dfrac{4}{3}\right)^{4}=\dfrac{256}{81}>3>2.72>e なので成り立つ。よって 0<S<180<S<\dfrac{1}{8}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 2曲線で囲まれた面積
  • 対数の評価

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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