1関西医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

選び方は操作1が6通り、操作2が5通り、操作3が4通りで、全 $120$ 通りが同様に確からしい。左から1〜6の番号を付け、表のカードの集合を追う。操作2のあとの表の枚数は1枚か3枚。(3)(4) は「表の集合と操作3の3枚の共通部分の大きさ」の合計を数えると楽になる。

カードに左から1〜6の番号を付ける。操作1の選び方6通り、操作2の5通り、操作3の4通りの計 $120$ 通りは同様に確からしい。操作2のあとの表のカードの集合を $U$、操作3で選ぶ3枚を $T$ とする。

(1) 操作1で表にしたカード $i$ が、操作2の2枚に含まれれば表は1枚、含まれなければ3枚。$i$ を含む隣り合う2枚は、$i=1,6$ なら1通り、それ以外は2通りなので、含まれる場合は $1+2+2+2+2+1=10$ 通り（全30通り中）。よって表が3枚の確率は $1-\dfrac{10}{30}=\dfrac{2}{3}$。

(2) すべて表になるのは、$U$ の補集合がちょうど $T$ のとき、つまり $U$ が3枚で、その補集合が連続する3枚のとき。$U=\{4,5,6\}$（$i=4$ と $\{5,6\}$、$i=6$ と $\{4,5\}$）、$U=\{1,5,6\}$（$i=1$ と $\{5,6\}$）、$U=\{1,2,6\}$（$i=6$ と $\{1,2\}$）、$U=\{1,2,3\}$（2通り）の計6通りで、そのたびに $T$ は1通り。よって $\dfrac{6}{120}=\dfrac{1}{20}$。

(3)(4) 操作3のあとの表の枚数は $|U|+3-2|U\cap T|$。

$|U|=1$ のとき（$10\times4=40$ 通り）：$U=\{j\}$ で、表は $j\in T$ なら2枚、そうでなければ4枚。$j$ は1, 6 が1回ずつ、2〜5 が2回ずつ現れ、$j$ を含む $T$ の数は $j=1,\cdots,6$ の順に $1,2,3,3,2,1$。よって $j\in T$ となるのは $1+4+6+6+4+1=22$ 通りで、2枚が22通り、4枚が18通り。

$|U|=3$ のとき（$20\times4=80$ 通り）：表は $6-2|U\cap T|$ 枚。$|U\cap T|=3$（0枚）は $U$ が連続する3枚のときで、そのような $(i,\text{2枚})$ は8通り、$T$ は1通りずつで8通り。$|U\cap T|=0$（6枚）は (2) の6通り。残り66通りのうち $|U\cap T|=2$ を $p$ 通り、$=1$ を $q$ 通りとする。

$|U\cap T|$ の合計は、各カード $x\in U$ を含む $T$ の数（$1,2,3,3,2,1$）を足して求められる。$i$ の寄与は $\sum(\text{2枚に含まれない場合の数})\times(\text{重み})=1\cdot4+2\cdot3+3\cdot3+3\cdot3+2\cdot3+1\cdot4=38$、2枚の寄与は $(3+5+6+5+3)\times4=88$ で、合計 126。よって
$$3\cdot8+2p+q=126,\qquad p+q=66$$
から $p=36$、$q=30$。

まとめると、4枚は $18+30=48$ 通りで $\dfrac{48}{120}=\dfrac{2}{5}$、2枚は $22+36=58$ 通りで $\dfrac{58}{120}=\dfrac{29}{60}$。