2東海大学 2023年 数学 第2問解答・解説

円の方程式を立て、交点では差・和を使う。接する場合は中心間距離を半径と比較し、三円の共通点では各円の条件を連立してパラメータを消去する。

円 $C_1,C_2$ の中心はそれぞれ $(-1,a),(1,b)$ である。方程式は
$$C_1:\ x^2+y^2+2x-2ay+1=0, \qquad C_2:\ x^2+y^2-2x-2by+1=0$$
となる。

(1) $a=2,b=1$ を代入して二つの式を引くと $4x-2y=0$、すなわち $y=2x$ である。これを $C_2$ に代入すると
$$5x^2-6x+1=0, \qquad (5x-1)(x-1)=0.$$
よって $x=\frac15,1$、対応する $y=\frac25,2$ である。$x$ 座標の小さい順に、交点は $\left(\frac15,\frac25\right)$ と $(1,2)$ である。

(2) $C_1,C_2$ の異なる交点を $P,Q$ とし、各点の座標を $(x,y)$ とする。上の二つの円の式を引くと
$$2x+(b-a)y=0,\qquad x=\frac{a-b}{2}y.$$
また二つの式を足すと
$$x^2+y^2-(a+b)y+1=0.$$
$K=1+\frac{(a-b)^2}{4}$ とおけば、交点では $x^2+y^2=Ky^2$ だから、交点の $y$ 座標は
$$Ky^2-(a+b)y+1=0$$
の二つの解である。その積は $1/K$ である。各円は $x$ 軸と異なる一点 $(-1,0),(1,0)$ で接するため、共有点 $P,Q$ の $y$ 座標は正である。したがって
$$OP\cdot OQ =\sqrt{K}\,y_P\cdot\sqrt{K}\,y_Q =K\,y_Py_Q=1.$$

(3) 二つの中心間の距離は $\sqrt{4+(a-b)^2}$ である。これは $|a-b|$ より大きいので、接する場合は外接であり、中心間距離は半径の和 $a+b$ に等しい。よって
$$4+(a-b)^2=(a+b)^2\quad\text{整理すると}\quad 4ab=4.$$
$a,b>0$ から $b=\frac1a$ である。

(4) $C_3$ の方程式は $x^2+(y-c)^2=1+c^2$ である。点 $(-1,2)$ を代入すると
$$1+(2-c)^2=1+c^2\quad\text{整理すると}\quad 4-4c=0,$$
よって $c=1$ である。

(5) $R(s,t)$ が $C_1,C_2$ 上にあることから
$$a=\frac{s^2+t^2+2s+1}{2t} =\frac{(s+1)^2+t^2}{2t}, \qquad b=\frac{s^2+t^2-2s+1}{2t} =\frac{(s-1)^2+t^2}{2t}.$$
したがって $a=\frac{(s+1)^2+t^2}{2t}$ である。また $R$ が $C_3$ 上にあることから
$$s^2+t^2-2ct=1.$$
ここで $S=s^2+t^2+1$ とおくと $S=2ct+2$ であり、上の $a,b$ の式から
$$\begin{aligned} ab&=\frac{(S+2s)(S-2s)}{4t^2} =\frac{(2ct+2)^2-4s^2}{4t^2}\\ &=c^2+\frac{2c}{t}+\frac{1-s^2}{t^2} =c^2+\frac{2c}{t}+1-\frac{2c}{t} =c^2+1. \end{aligned}$$$$ab=\frac{(S+2s)(S-2s)}{4t^2}=\frac{(2ct+2{)}^2-4s^2}{4t^2}$$$$=c^2+\frac{2c}{t}+\frac{1-s^2}{t^2}=c^2+\frac{2c}{t}+1-\frac{2c}{t}=c^2+1.$$
ゆえに $ab=c^2+1$ である。