1熊本大学 2026年 数学 第1問解答・解説

各正整数 j について，$a_{2j-1}=(2j-1)^2-1=4j(j-1)$，$a_{2j}=\frac12(2j)^2-2j=2j(j-1)$ である。

(問1) まず，$a_1=0, a_2=0, a_3=8, a_4=4, a_5=24, a_6=12$ だから，$S_5=0+0+8+4+24=36$，$S_6=S_5+12=48$。

(問2) 偶数番目までの和は，奇数番目とその直後の偶数番目を組にして
$$S_{2n}=\sum_{j=1}^{n}(a_{2j-1}+a_{2j})=6\sum_{j=1}^{n}(j^2-j)=6\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}\right)=2n(n+1)(n-1)=2n(n^2-1).$$
また，$a_{2n}=2n(n-1)$ なので，
$$S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}=2n(n^2-1)-2n(n-1)=2n^2(n-1).$$

(問3) 問2の式から，
$$S_{2j-1}+S_{2j}=2j^2(j-1)+2j(j^2-1)=4j^3-2j^2-2j.$$
よって，
$$\begin{aligned} \sum_{\ell=1}^{2n}S_\ell&=\sum_{j=1}^{n}(S_{2j-1}+S_{2j})\\ &=4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2-2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\frac{n(n+1)}{2}\\ &=\frac{n(n+1)(3n^2+n-4)}{3}=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+4)}{3}. \end{aligned}$$$$\sum _{\ell =1}^{2n}{S}_{\ell }=\sum _{j=1}^n(S_{2j-1}+S_{2j})$$$$=4{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2-2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\frac{n(n+1)}{2}$$$$=\frac{n(n+1)(3n^2+n-4)}{3}=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+4)}{3}.$$
ここでは，$\sum_{j=1}^{n}j=\frac{n(n+1)}{2}$，$\sum_{j=1}^{n}j^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，$\sum_{j=1}^{n}j^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ を用いた。

奇数項と直後の偶数項を組にして部分和を求め、総和公式で整理する。