2名古屋大学 2022年 数学 第2問解答・解説

各回の出方を区別すると、すべての組 $(a,b,c)$ は $6^{3}=216$ 通りで同様に確からしい。

(1) $u=ab$ とおくと、不等式は $u(c-1)\leqq 2c$ である。$c=1$ のときはすべての $(a,b)$ が適するので 36 通りである。$c\geqq 2$ のときは $ab\leqq\dfrac{2c}{c-1}$ を満たす $(a,b)$ を数える。
$$\begin{array}{c|cccccc} c&1&2&3&4&5&6\\\hline ab\text{ の最大値（整数）}&\text{制限なし}&4&3&2&2&2\\ (a,b)\text{ の個数}&36&8&5&3&3&3 \end{array}$$
例えば $ab\leqq 4$ の個数は、$a=1,2,3,4$ ごとに $4,2,1,1$ 通りの計 8 通りである。$ab\leqq 3$ は $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)$ の 5 通り、$ab\leqq 2$ は $(1,1),(1,2),(2,1)$ の 3 通りである。したがって求める確率は
$$\boxed{\dfrac{36+8+5+3+3+3}{216}=\dfrac{29}{108}}.$$

(2) $u=ab$ が偶数なら $u+2c$ と $2uc$ はともに偶数であり、互いに素にならない。よって $a,b$ はともに奇数、すなわち $1,3,5$ のいずれかでなければならない。
このとき $u+2c$ は奇数である。また、$u+2c$ と $u$ の最大公約数は $2c$ と $u$ の最大公約数に等しく、$u$ が奇数なので、それは $c$ と $u$ の最大公約数に等しい。同様に、$u+2c$ と $c$ の最大公約数は $u$ と $c$ の最大公約数に等しい。
したがって $u+2c$ と $2uc$ が互いに素であるための必要十分条件は、$u$ が奇数で、$c$ と $u$ が互いに素となることである。
$a,b$ がそれぞれ $1,3,5$ のいずれかである場合を次の 4 種類に分ける。
$$\begin{array}{c|c|c|c} (a,b)\text{ の種類}&\text{組数}&\text{許される }c&\text{計}\\\hline (1,1)&1&1,2,3,4,5,6&6\\ 3\text{ を含み、}5\text{ を含まない}&3&1,2,4,5&12\\ 5\text{ を含み、}3\text{ を含まない}&3&1,2,3,4,6&15\\ 3,5\text{ を両方含む}&2&1,2,4&6 \end{array}$$
2 行目は $(1,3),(3,1),(3,3)$、3 行目は $(1,5),(5,1),(5,5)$、4 行目は $(3,5),(5,3)$ であり、重複も漏れもない。よって
$$\boxed{\dfrac{6+12+15+6}{216}=\dfrac{13}{72}}.$$