4香川大学 2024年 数学 第4問解答・解説

分母を含む重みの x↦π−x に関する対称性を使う。積分値は対称性で半区間にし、u=1+cos x の置換で求める。最後は加法定理で分解し、奇対称となる項を消す。

(1) $f(x)=\frac{\sin x}{1+|\cos x|}$ とおく。$0\leqq x\leqq\pi$ に対し、$\sin(\pi-x)=\sin x$、$|\cos(\pi-x)|=|\cos x|$ だから $f(\pi-x)=f(x)$ である。したがって、$u=\pi-x$ と置換すると
$$I_2=\int_0^\pi(\pi-x)f(x)\,dx=\int_0^\pi u f(\pi-u)\,du=\int_0^\pi u f(u)\,du=I_1.$$

(2) (1) より
$$2I_1=I_1+I_2=\int_0^\pi\{x+(\pi-x)\}f(x)\,dx=\pi J,\qquad J=\int_0^\pi f(x)\,dx.$$
$f(\pi-x)=f(x)$ より
$$J=2\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.$$
ここで $u=1+\cos x$ とおくと $du=-\sin x\,dx$ であり、$x=0,\pi/2$ に対してそれぞれ $u=2,1$ だから
$$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx=\int_2^1-\frac{1}{u}\,du=\int_1^2\frac{1}{u}\,du=\log 2.$$
ゆえに $J=2\log 2$ であり、$I_1=\pi\log 2$。

(3) 加法定理より
$$I(t)=\cos t\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+|\cos x|}\,dx+\sin t\,K,\qquad K=\int_0^\pi\frac{\cos x}{1+|\cos x|}\,dx.$$
置換 $x=\pi-u$ によると $|\cos(\pi-u)|=|\cos u|$、$\cos(\pi-u)=-\cos u$ なので $K=-K$、したがって $K=0$ である。また (2) の計算から最初の積分は $J=2\log 2$ だから
$$I(t)=2\log 2\cos t.$$
$0\leqq t\leqq\pi/2$ では $\cos t\geqq0$ であり、$t=\pi/2$ のとき $\cos t=0$ となる。したがって最小値は $0$ で、そのとき $t=\pi/2$ である。