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佐賀大学／2023年度／前期

4佐賀大学 2023年 数学 第4問解答・解説

三角関数微分法積分法

1問題

佐賀大学2023年度第4問
次の問に答えよ。
(1) 等式 (tan⁡θ)′=1cos⁡2θ(\tan\theta)'=\frac{1}{\cos^2\theta} を示せ。また、定積分 ∫π4π21sin⁡2θ dθ\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^2\theta}\,d\theta の値を求めよ。
(2) 等式 cos⁡θ1+sin⁡θ+cos⁡θ1−sin⁡θ=2cos⁡θ\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}=\frac{2}{\cos\theta} を示せ。また、定積分 ∫0π61cos⁡θ dθ\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{\cos\theta}\,d\theta の値を求めよ。
(3) 定積分 ∫0π61cos⁡3θ dθ\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{\cos^3\theta}\,d\theta の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

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  • (1)
  • (2)
  • (3)

3解答

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考え方

解答

(1)

cos⁡θ≠0\cos\theta\ne 0 の範囲で、商の微分法より
(tan⁡θ)′=(sin⁡θcos⁡θ)′=cos⁡2θ+sin⁡2θcos⁡2θ=1cos⁡2θ. (\tan\theta)'=\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)'=\dfrac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}.
また、sin⁡θ≠0\sin\theta\ne 0 の範囲で
(−cos⁡θsin⁡θ)′=1sin⁡2θ \left(-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)'=\dfrac{1}{\sin^{2}\theta}
である。したがって
∫π4π21sin⁡2θ dθ=[−cos⁡θsin⁡θ]π4π2=0−(−1)=1. \displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1}{\sin^{2}\theta}\,d\theta=\left[-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\right]_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{2}}=0-(-1)=1.

(2)

cos⁡θ≠0\cos\theta\ne 0 ならば 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta より
cos⁡θ1+sin⁡θ+cos⁡θ1−sin⁡θ=cos⁡θ{(1−sin⁡θ)+(1+sin⁡θ)}(1+sin⁡θ)(1−sin⁡θ)=2cos⁡θcos⁡2θ=2cos⁡θ. \dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}=\dfrac{\cos\theta\{(1-\sin\theta)+(1+\sin\theta)\}}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)}=\dfrac{2\cos\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{2}{\cos\theta}.
区間 0≦θ≦π60\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{6} では 1±sin⁡θ>01\pm\sin\theta>0 だから、この等式を用いて
∫0π61cos⁡θ dθ=12∫0π6(cos⁡θ1+sin⁡θ+cos⁡θ1−sin⁡θ)dθ=12[log⁡(1+sin⁡θ)−log⁡(1−sin⁡θ)]0π6=12{log⁡32−log⁡12}=12log⁡3. \begin{aligned} \displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos\theta}\,d\theta&=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\left(\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\right)d\theta\\ &=\dfrac{1}{2}\left[\log(1+\sin\theta)-\log(1-\sin\theta)\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\\ &=\dfrac{1}{2}\left\{\log\dfrac{3}{2}-\log\dfrac{1}{2}\right\}=\dfrac{1}{2}\log 3. \end{aligned}

(3)

I=∫0π61cos⁡3θ dθI=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos^{3}\theta}\,d\theta とおく。部分積分により
I=[tan⁡θcos⁡θ]0π6−∫0π6tan⁡2θcos⁡θ dθ=23−∫0π6(1cos⁡3θ−1cos⁡θ)dθ=23−I+12log⁡3. \begin{aligned} I&=\left[\dfrac{\tan\theta}{\cos\theta}\right]_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}-\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{\tan^{2}\theta}{\cos\theta}\,d\theta\\ &=\dfrac{2}{3}-\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\left(\dfrac{1}{\cos^{3}\theta}-\dfrac{1}{\cos\theta}\right)d\theta\\ &=\dfrac{2}{3}-I+\dfrac{1}{2}\log 3. \end{aligned}
よって
I=13+14log⁡3. I=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\log 3.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 三角関数の相互関係
  • 三角関数の微分
  • 不定積分・定積分の性質
  • 置換積分法
  • 部分積分法
  • 三角・指数・対数関数等の積分

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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