4岐阜大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)
加法定理から
$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) &=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) -(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=2\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}$$$$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )$$$$=2\cos \alpha \sin \beta .$$

(2)
(1) に $\alpha=j\theta$、$\beta=\frac\theta2$ を代入すると
$$\sin\left(j\theta+\frac\theta2\right)-\sin\left(j\theta-\frac\theta2\right) =2\cos(j\theta)\sin\frac\theta2.$$
これを $j=1,2,\ldots,k$ について加えると、右辺は
$2\sin\frac\theta2\sum_{j=1}^k\cos(j\theta)$、左辺は隣り合う項が消えて
$$\sin\frac{(2k+1)\theta}{2}-\sin\frac\theta2$$
となる。したがって
$$\begin{aligned} \left(\frac12+\sum_{j=1}^k\cos(j\theta)\right)\sin\frac\theta2 &=\frac12\sin\frac\theta2+ \frac12\left(\sin\frac{(2k+1)\theta}{2}-\sin\frac\theta2\right)\\ &=\frac12\sin\frac{(2k+1)\theta}{2}, \end{aligned}$$$$\left(\frac{1}{2}+\sum _{j=1}^k\cos (j\theta )\right)\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}\sin \frac{\theta }{2}+\frac{1}{2}\left(\sin \frac{(2k+1)\theta }{2}-\sin \frac{\theta }{2}\right)$$$$=\frac{1}{2}\sin \frac{(2k+1)\theta }{2},$$
所要の等式を得る。

(3)
部分積分により
$$I=\left[e^x\cos x\right]_0^\pi+\int_0^\pi e^x\sin x\,dx =-(e^\pi+1)+J.$$
また
$$J=\left[e^x\sin x\right]_0^\pi-\int_0^\pi e^x\cos x\,dx=-I.$$
よって $I=-(e^\pi+1)-I$ なので
$$I=-\frac{e^\pi+1}{2},\qquad J=\frac{e^\pi+1}{2}.$$

(4)
$h=\frac\pi n$、$x_k=kh$ とおくと、$P,Q$ の各和はそれぞれ
$$\widetilde P_n=h\sum_{k=1}^n e^{x_k}\cos x_k, \qquad \widetilde Q_n=h\sum_{k=1}^n e^{x_k}\sin x_k$$
となる。これらは $0\leqq x\leqq\pi$ の範囲を分割し、各小区間の右端を用いた区分求積である。関数 $e^x\cos x$ と $e^x\sin x$ は連続だから
$$P=\int_0^\pi e^x\cos x\,dx=I=-\frac{e^\pi+1}{2}, \qquad Q=\int_0^\pi e^x\sin x\,dx=J=\frac{e^\pi+1}{2}.$$

(5)
$h=\frac\pi n$ とする。定義に現れる各和を $e^{kh}$ ごとにまとめると、$e^{kh}$ は定数項の和に一度、また $\cos(jh)$ の項では $1\leqq j\leqq k$ のときに一度ずつ現れる。したがって
$$S_n=h^2\sum_{k=1}^n e^{kh} \left(\frac12+\sum_{j=1}^k\cos(jh)\right).$$
(2) に $\theta=h$ を代入すると
$$\left(\frac12+\sum_{j=1}^k\cos(jh)\right) =\frac{\sin\frac{(2k+1)h}{2}}{2\sin\frac h2}.$$
ここで $n\geqq1$ より $0<\frac h2\leqq\frac\pi2$ なので、分母の $\sin\frac h2$ は0ではない。上式を代入して
$$S_n=\left(\frac\pi n\right)^2\sum_{k=1}^n \left\{e^{\pi k/n}\frac{\sin\frac{(2k+1)\pi}{2n}}{2\sin\frac\pi{2n}}\right\}$$
を得る。

(6)
$h=\frac\pi n$、$\delta=\frac h2$、$x_k=kh$ とする。(5) の和に
$$\sin(x_k+\delta)=\sin x_k\cos\delta+\cos x_k\sin\delta$$
を用いると
$$\begin{aligned} S_n &=\frac h2\cot\delta\left(h\sum_{k=1}^n e^{x_k}\sin x_k\right) +\frac h2\left(h\sum_{k=1}^n e^{x_k}\cos x_k\right)\\ &=\delta\cot\delta\,\widetilde Q_n+\frac h2\widetilde P_n. \end{aligned}$$$$S_n=\frac{h}{2}\cot \delta \left(h\sum _{k=1}^n{e}^{x_k}\sin x_k\right)+\frac{h}{2}\left(h\sum _{k=1}^n{e}^{x_k}\cos x_k\right)$$$$=\delta \cot \delta {\tilde{Q}}_n+\frac{h}{2}{\tilde{P}}_n.$$
(4) より $\widetilde Q_n\to Q=\frac{e^\pi+1}{2}$、$\widetilde P_n\to P$ である。また
$$\delta\cot\delta=\frac{\cos\delta}{\sin\delta/\delta}\longrightarrow1 \qquad(\delta\to0)$$
であり、$\frac h2\widetilde P_n\to0$ である。したがって
$$\lim_{n\to\infty}S_n=Q=\frac{e^\pi+1}{2}.$$