1香川大学 2024年 数学 第1問解答・解説

剰余の定理からx=-1,2での値を、$(x-2)^{3}$ で割った余りから $x=2$ での導関数を取り出す。求める剰余の次数に応じて係数を決め、差が割る式で割り切れることまで確認する。

(1) 余りの定理から
$$P(-1)=-9.$$
また、ある整式 $Q(x)$ を用いて
$$P(x)=3x^2-2x+4+(x-2)^3Q(x)$$
と書ける。したがって
$$P(2)=12,\qquad P'(2)=10.$$

(1) 求める余りを $ax+b$ とすると、余りの定理から
$$-a+b=-9,\qquad 2a+b=12.$$
これを解くと $a=7,\ b=-2$ である。実際、$P(x)-(7x-2)$ は $-1,2$ を根にもつので $(x+1)(x-2)$ で割り切れる。よって余りは
$$\boxed{7x-2}$$
である。

(2) $(x-2)^2$ で割った余りを一次式 $R(x)$ とすると、$R(2)=12,\ R'(2)=10$ である。したがって
$$R(x)=10(x-2)+12=\boxed{10x-8}.$$
実際、$H(x)=P(x)-R(x)$ とおけば $H(2)=H'(2)=0$。因数定理により $H(x)=(x-2)S(x)$ と書け、微分して $H'(2)=S(2)=0$ だから、さらに $S(x)$ も $(x-2)$ を因数にもつ。よって $(x-2)^2$ が $H(x)$ を割り切り、これが求める余りである。

(3) 求める余りを
$$R(x)=a(x-2)^2+10(x-2)+12$$
とおく。これは $R(2)=12,\ R'(2)=10$ を満たす。さらに $R(-1)=P(-1)=-9$ より
$$9a-30+12=-9,$$
したがって $a=1$ である。ゆえに
$$R(x)=(x-2)^2+10(x-2)+12=\boxed{x^2+6x-4}.$$
実際、$H(x)=P(x)-R(x)$ は $H(2)=H'(2)=0$ を満たすので $H(x)=(x-2)^2S(x)$ と書ける。また $H(-1)=0$ かつ $(-1-2)^2=9\ne0$ だから $S(-1)=0$。よって $S(x)$ は $(x+1)$ で割り切れ、$(x+1)(x-2)^2$ が $H(x)$ を割り切る。以上からこの二次式が求める余りである。