3香川大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$a$ を動かしたときの曲線の族が通る範囲と、原点の扱い。

(1)

$x=0$ ならば $y=\dfrac{2}{a}$ であり、$a>0$ のもとで $y$ は正の値をすべてとる。次に $x\neq0$ とする。相加平均と相乗平均の関係より
$$ax^{2}+\dfrac{2}{a}\geqq 2\sqrt{ax^{2}\cdot\dfrac{2}{a}}=2\sqrt{2}\,|x|.$$
等号は $ax^{2}=\dfrac{2}{a}$、すなわち $a=\dfrac{\sqrt{2}}{|x|}$ のときに成り立つ。さらに $a$ を変数とみた式 $ax^{2}+\dfrac{2}{a}$ は $a>0$ で連続であり、$a\to0+$ および $a\to\infty$ のいずれでも $+\infty$ に向かう。したがって、最小値以上のすべての $y$ が実現する。よって到達領域は $y\geqq2\sqrt{2}\,|x|$ の部分であるが、$x=0$ のとき $y=0$ は実現しないため原点を除く。

(2)

$x=0$ ならば $y=\dfrac{2}{a}$ より $y>0$ である。$x\neq0$ のとき、$a^{2}x^{2}$ と $\dfrac{1}{a}$ は正だから、相加平均と相乗平均の関係より
$$a^{2}x^{2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\geqq 3\sqrt[3]{a^{2}x^{2}\left(\dfrac{1}{a}\right)^{2}}=3|x|^{\dfrac{2}{3}}.$$
等号条件 $a^{2}x^{2}=\dfrac{1}{a}$ から $a=|x|^{-\dfrac{2}{3}}$ であり、このとき最小値 $3|x|^{\dfrac{2}{3}}$ をとる。一方、$a$ を変数とみた式 $a^{2}x^{2}+\dfrac{2}{a}$ は $a>0$ で連続で、$a\to0+$ および $a\to\infty$ で $+\infty$ に向かう。中間値の定理により、最小値以上のすべての値が実現する。したがって到達領域は $y\geqq3|x|^{\dfrac{2}{3}}$ の部分から原点を除いたものとなる。