2名古屋市立大学 2025年 数学 第2問解答・解説

小問(1)はAの所持するm個が全てのm部分集合から同様に確からしく選ばれることを用い、総和の半分となる組を数える。小問(2)は観察済みの3個を固定し、Bの最終合計の最大値が全体の半分未満となる場合を数える。

全ての玉に書かれた数の総和を
$$S=0+1+\cdots +(2m-1)=m(2m-1)$$
とする。Aが持つ玉の集合は、$2m$個から選ぶ$m$個の部分集合のいずれも同じ確率である。実際、Aの取る$m$個が定まると、その$m$個をAの順番に並べる方法は$m!$通り、残りをBの順番に並べる方法も$m!$通りで、いずれも同数だからである。

(1) 引き分けとなるには、Aの合計が$S/2$であればよい。

$m=2$では$S=6$なので、Aが取る2数の和が3となる組は$\{0,3\},\{1,2\}$の2組である。全ての組は${}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$組だから、確率は$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$である。

$m=3$では$S=15$は奇数である。AとBの合計が等しければその共通の合計は$15/2$となるが、合計は整数なので引き分けは起こらず、確率は$0$である。

$m=4$では$S=28$なので、Aの4数の和が14となる組を数える。該当する組は
$$\{0,1,6,7\},\ \{0,2,5,7\},\ \{0,3,4,7\},\ \{0,3,5,6\},$$
$$\{1,2,4,7\},\ \{1,2,5,6\},\ \{1,3,4,6\},\ \{2,3,4,5\}$$
の8組である。全ての組は${}_{8}\mathrm{C}_{4}=70$組だから、確率は$\dfrac{8}{70}=\dfrac{4}{35}$である。

(2) Aが2個目を取り終えた時点で、Aの数を$x,z$、Bがすでに取った数を$b$とする。残りからBが受け取る$m-1$個の数の和の最大値を$T$とすると、Bの最終合計の最大値は$b+T$である。Aの最終合計は$S$からBの最終合計を引いた値なので、Aの勝ちが確定するための必要十分条件は
$$b+T<\frac{S}{2}$$
である。ここで$T$は、$x,b,z$を除いた残りの数のうち大きい方から$m-1$個の和である。

$m=3$では$S=15$だから、条件は$b+T\leqq7$となる。各$b$について、条件を満たすAの2数の組$\{x,z\}$は
$$\begin{array}{c|l} b&\{x,z\}\text{の候補}\\\hline 0&\{1,5\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}\\ 1&\{3,5\},\{4,5\}\\ 2&\{3,5\},\{4,5\}\\ 3&\{4,5\}\\ 4&\{3,5\}\\ 5&\text{なし} \end{array}$$
である。Aの1個目と2個目の順序は各組につき2通りあるため、条件を満たす最初の3回の取り出し方は$2(5+2+2+1+1)=22$通りである。全ての最初の3回の取り出し方は$6\cdot5\cdot4=120$通りなので、求める確率は$\dfrac{22}{120}=\dfrac{11}{60}$である。

$m=4$では$S=28$だから、条件は$b+T\leqq13$となる。各$b$について条件を満たす組は、$b=0$のとき$\{x,z\}=\{5,7\},\{6,7\}$、$b=1$のとき$\{x,z\}=\{6,7\}$であり、$b=2,3,4,5,6,7$ではない。よって、条件を満たす最初の3回の取り出し方は$2(2+1)=6$通りである。全ての取り出し方は$8\cdot7\cdot6=336$通りだから、求める確率は$\dfrac{6}{336}=\dfrac{1}{56}$である。