1北海道大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

等比数列の一般項は
$$a_{n}=\alpha r^{n-1},\qquad a_{n+1}=\alpha r^{n}$$
である。$x=\log_{\alpha}r$ とおくと、底の変換より
$$b_{n}=\dfrac{\log_{\alpha}(\alpha r^{n})}{\log_{\alpha}(\alpha r^{n-1})}=\dfrac{1+n\log_{\alpha}r}{1+(n-1)\log_{\alpha}r}=\dfrac{1+nx}{1+(n-1)x}.$$
よって (1) が得られる。$r>1$、$\alpha>1$ より $x>0$ なので分母は正である。

(2)

(2) の等式は、分母を払うと
$$(n+1)(1+nx)=(n+2)\{1+(n-1)x\}$$
と同値であり、整理すると $-1+2x=0$、すなわち $x=\dfrac{1}{2}$ となる。したがって必要十分条件は $\log_{\alpha}r=\dfrac{1}{2}$、すなわち $r=\sqrt{\alpha}$（$\alpha=r^{2}$）である。この値を代入すれば、すべての自然数 $n$ で等式が成り立つ。

(3)

このとき $a_{k}=\alpha^{\dfrac{k+1}{2}}$ だから、三つの積は順に
$$a_{1}a_{2}=\alpha^{\dfrac{5}{2}},\qquad a_{1}a_{2}a_{3}=\alpha^{\dfrac{9}{2}},\qquad a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}=\alpha^{7}.$$
正の数の整数部分がそれぞれ 2 桁、3 桁、4 桁となる条件は
$$10\leqq\alpha^{\dfrac{5}{2}}<100,\quad 100\leqq\alpha^{\dfrac{9}{2}}<1000,\quad 1000\leqq\alpha^{7}<10000.$$
$\alpha>1$ より各々を解くと
$$10^{\dfrac{2}{5}}\leqq\alpha<10^{\dfrac{4}{5}},\quad 10^{\dfrac{4}{9}}\leqq\alpha<10^{\dfrac{2}{3}},\quad 10^{\dfrac{3}{7}}\leqq\alpha<10^{\dfrac{4}{7}}.$$
これらの共通範囲は
$$\boxed{10^{\dfrac{4}{9}}\leqq\alpha<10^{\dfrac{4}{7}}}.$$