5北海道大学 2024年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=x\log(x+2)+1$、$x>-2$。ここで$\log$は自然対数。

(1) 原点を通る正の傾きの接線
$x=a$での接線は$y=f'(a)(x-a)+f(a)$。これが原点を通る条件は$f(a)-af'(a)=0$。$$f'(x)=\log(x+2)+\frac{x}{x+2},\qquad f(a)-af'(a)=1-\frac{a^2}{a+2}=0.$$
よって$a^2=a+2$から$a=2$または$a=-1$。傾きは$f'(2)=\log4+\frac12>0$、$f'(-1)=-1<0$なので、求める直線は
$$\boxed{\ell:\ y=\left(\log4+\frac12\right)x}.$$

(2) 下に凸であること
$$f''(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{2}{(x+2)^2}=\frac{x+4}{(x+2)^2}>0\qquad(x>-2).$$
したがって導関数$f'$は増加し、曲線$C$は定義域全体で下に凸。

(3) 囲まれた部分の面積
$C$は(1)の接線$\ell$に$x=2$で接し、$f(0)=1$なので、指定領域は$0\leqq x\leqq2$にある。下に凸より曲線は接線以上である。面積は
$$\begin{aligned} A&=\int_0^2\left(x\log(x+2)+1-\left(\log4+\frac12\right)x\right)dx\\ &=2(1-\log2). \end{aligned}$$$$A={\int }_0^2\left(x\log (x+2)+1-\left(\log 4+\frac{1}{2}\right)x\right)dx$$$$=2(1-\log 2).$$
実際、部分積分により$\int_0^2 x\log(x+2)dx=1+2\log2$であり、上式に代入すればよい。$\boxed{A=2(1-\log2)}$。