4東京医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

接点条件を重解に置き換えて多項式を定め、定積分は置換、積の微分、部分積分の関係で計算した。

(1) $x=-2,1$ で $x$ 軸に接するので、$f(-2)=f'(-2)=f(1)=f'(1)=0$ である。したがって $(x+2)^2$ と $(x-1)^2$ が因数となる。$f$ は最高次の係数が1である4次多項式なので
$$f(x)=(x+2)^2(x-1)^2=(x^2+x-2)^2=x^4+2x^3-3x^2-4x+4.$$
よって $a=2,\ b=-3,\ c=-4,\ d=4$。

(2) $u=x-1$ とおくと積分範囲は $-3\leqq u\leqq0$、$x+2=u+3$ だから、
$$\int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)^7\,dx =\int_{-3}^{0}(u+3)u^7\,du =\left[\frac{u^9}{9}+\frac{3u^8}{8}\right]_{-3}^{0} =-\frac{2187}{8}.$$

(3) $F(x)=(x+2)^{p+1}(x-1)^{q+1}$ とおく。$p,q$ は正の整数なので $F(-2)=F(1)=0$ であり、積の微分から
$$F'(x)=(p+1)(x+2)^p(x-1)^{q+1}+(q+1)(x+2)^{p+1}(x-1)^q.$$
これを $-2$ から $1$ まで積分すると
$$0=(p+1)\int_{-2}^{1}(x+2)^p(x-1)^{q+1}\,dx+(q+1)\int_{-2}^{1}(x+2)^{p+1}(x-1)^q\,dx.$$
したがって後者の積分は前者の $-\frac{p+1}{q+1}$ 倍である。解答群では $\text{ス}=-(p+1)$、$\text{セ}=q+1$、すなわち⑤、⑥を選ぶ。

(4) (1) より $f(x)=(x+2)^2(x-1)^2\geqq0$ で、囲まれた部分は $-2\leqq x\leqq1$ にある。$x$ 軸のまわりの回転体の体積は
$$V=\pi\int_{-2}^{1}f(x)^2\,dx=\pi\int_{-2}^{1}(x+2)^4(x-1)^4\,dx.$$
$t=(x+2)/3$ とおくと $x+2=3t,\ x-1=-3(1-t),\ dx=3dt$ より
$$\int_{-2}^{1}(x+2)^4(x-1)^4\,dx=3^9\int_0^1t^4(1-t)^4\,dt.$$
ここで $I_{m,n}=\int_0^1t^m(1-t)^n\,dt$ とおく。$m\geqq1$ に対して $t^m(1-t)^{n+1}$ の導関数を積分すると、端点でこの式が0になるので
$$I_{m,n}=\frac{m}{n+1}I_{m-1,n+1}.$$
これを4回用い、$I_{0,8}=1/9$ を使えば
$$I_{4,4}=\frac45\cdot\frac36\cdot\frac27\cdot\frac18\cdot\frac19=\frac1{630}.$$
したがって
$$V=\pi\frac{3^9}{630}=\frac{2187}{70}\pi.$$