3大分大学 2024年 数学 第3問解答・解説

曲線を媒介変数で微分して接線を求め、内分点の軌跡・回転体・曲線長をそれぞれ高校範囲の座標、積分で扱う。

(1) $0<\theta<\pi/2$ なので $\sin\theta,\cos\theta>0$ であり、媒介変数表示を微分すると
$$\frac{dx}{d\theta}=-9\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=9\sin^2\theta\cos\theta.$$
したがって点 $P=(3\cos^3\theta,3\sin^3\theta)$ における接線の傾きは
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=-\tan\theta$$
である。接線の式を整理すると
$$y-3\sin^3\theta=-\tan\theta(x-3\cos^3\theta) \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \sin\theta\,x+\cos\theta\,y=3\sin\theta\cos\theta.$$
よって、軸との交点は $Q=(3\cos\theta,0)$、$R=(0,3\sin\theta)$ である。

(2) $QS:SR=1:2$ だから、内分点の公式より
$$S=\frac{2Q+R}{3}=(2\cos\theta,\sin\theta).$$
ゆえに $x=2\cos\theta>0$、$y=\sin\theta>0$ で、
$$\frac{x^2}{4}+y^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$
逆に $x>0,y>0$ かつ $x^2/4+y^2=1$ ならば $x/2,y$ はともに正で、$(x/2)^2+y^2=1$ を満たすから、ある $0<\theta<\pi/2$ に対して $x/2=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ と表せる。したがって軌跡は楕円 $x^2/4+y^2=1$ の第1象限の部分（端点 $(2,0),(0,1)$ を除く）である。

(3) この弧と両座標軸で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに回転する。高さ $y$ における円板の半径は、$0\leqq y\leqq1$ で
$$x=2\sqrt{1-y^2}$$
である。よって体積は円板の体積の積分により
$$V=\pi\int_0^1\left(2\sqrt{1-y^2}\right)^2\,dy =4\pi\left[y-\frac{y^3}{3}\right]_0^1=\frac{8\pi}{3}.$$

(4) 曲線の速さは
$$\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} =9\sin\theta\cos\theta$$
である（区間内では両因子が正）。したがって求める長さは
$$\int_{\pi/6}^{\pi/4}9\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\frac{9}{2}\left[\sin^2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/4} =\frac{9}{2}\left(\frac12-\frac14\right)=\frac98.$$