4金沢医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

第1象限で関数と定義域を確定し、平方完成・積分・接線・回転体の断面積を順に用いた。y軸回転では各高さで領域が二つの正の半径の間にあることを不等式から確かめ、円環の面積を積分した。

第1象限では $x\geqq0$、$y\geqq0$ であり、曲線の式から $0\leqq x\leqq1$、
$$y=x\sqrt{1-x^2}$$
となる。

(1) $t=x^2$ とおくと $0\leqq t\leqq1$ で
$$y^2=t(1-t)=\frac14-\left(t-\frac12\right)^2\leqq\frac14.$$
等号は $t=1/2$、すなわち $x=\sqrt2/2$ のとき成立する。$y\geqq0$ より最大値は $1/2$。

(2) 曲線と $x$ 軸の間の面積は
$$\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx =\frac12\int_0^1\sqrt{u}\,du =\frac13 \quad(u=1-x^2)$$
である。

(3) $y=\sqrt3/4$ を曲線の式に代入し、$u=x^2$ とおくと
$$u^2-u+\frac3{16}=0,$$
したがって $u=1/4,3/4$。よって交点は
$$A\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{4}\right),\qquad B\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{4}\right).$$
曲線上で $y>0$ のとき、両辺を微分して
$$2yy'=2x(1-2x^2),\qquad y'=\frac{x(1-2x^2)}{y}.$$
したがって $A,B$ での傾きはそれぞれ $1/\sqrt3,-1$ であり、接線は
$$\ell:y-\frac{\sqrt3}{4}=\frac1{\sqrt3}\left(x-\frac12\right),\qquad m:y-\frac{\sqrt3}{4}=-\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right).$$
これらを連立すると
$$T\left(\frac{2}{\sqrt3+1},\ 1-\frac{\sqrt3}{4}\right) =T\left(\sqrt3-1,\ 1-\frac{\sqrt3}{4}\right).$$
$AB$ は水平で、その長さは $(\sqrt3-1)/2$、直線 $AB$ から $T$ までの高さは $1-\sqrt3/2=(2-\sqrt3)/2$ である。よって
$$[ABT]=\frac12\cdot\frac{\sqrt3-1}{2}\cdot\frac{2-\sqrt3}{2} =\frac{3\sqrt3-5}{8}.$$

(4) $D$ を $x$ 軸の周りに回転すると、断面の半径は $y$ なので
$$V_x=\pi\int_0^1y^2\,dx =\pi\int_0^1x^2(1-x^2)\,dx =\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}.$$
次に $y$ 軸の周りに回転する。高さ $y$ を固定すると $0\leqq y\leqq1/2$ であり、$D$ の横断面は $x^2(1-x^2)\geqq y^2$ を満たす区間である。$u=x^2$ とおくと境界は
$$u^2-u+y^2=0,\qquad u_\pm=\frac{1\pm\sqrt{1-4y^2}}2.$$
回転後の断面は内半径 $\sqrt{u_-}$、外半径 $\sqrt{u_+}$ の円環で、その面積は
$$\pi(u_+-u_-)=\pi\sqrt{1-4y^2}.$$
したがって
$$V_y=\pi\int_0^{1/2}\sqrt{1-4y^2}\,dy =\frac\pi2\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt =\frac\pi2\cdot\frac\pi4=\frac{\pi^2}{8} \quad(t=2y).$$
ここで最後の積分は半径1の円の第1象限の面積である。