2山口大学 2022年 数学 第2問解答・解説

重心を原点とするベクトルで各辺と交点を表し、平行関係と線分上の媒介変数を求めた。共通部分は各頂点の相似な小三角形を除いた中央部分として面積を計算した。

(1)

中心対称より $\overrightarrow{\mathrm{GB}'}=-\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{GC}'}=-\vec{c}$ である。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{B}'\mathrm{C}'}=\overrightarrow{\mathrm{GC}'}-\overrightarrow{\mathrm{GB}'}=\vec{b}-\vec{c}=-\overrightarrow{\mathrm{BC}}.$$
よって $\mathrm{BC}/\!/\mathrm{B}'\mathrm{C}'$ である。

(2)

任意の点 $\mathrm{O}$ をとると、重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$ である。よって
$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}})+(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}})+(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OG}})=\vec{0}.$$

(3)

$\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c})$ を用いる。三角形 $\mathrm{ABC}$ は退化していないので、$\vec{b}$、$\vec{c}$ は一次独立である。辺 $\mathrm{B}'\mathrm{C}'$ 上の点 $\mathrm{X}$ を
$$\overrightarrow{\mathrm{GX}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{GB}'}+t\overrightarrow{\mathrm{GC}'}=(t-1)\vec{b}-t\vec{c}\qquad(0\leqq t\leqq1)$$
とおく。辺 $\mathrm{AB}$ 上の点を $\mathrm{P}$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{GP}}=(1-s)\vec{a}+s\vec{b}$（$0\leqq s\leqq1$）と表すと
$$\overrightarrow{\mathrm{GP}}=(2s-1)\vec{b}-(1-s)\vec{c}.$$
係数を比較すると $t=2s$、$t=1-s$ なので $s=\dfrac{1}{3}$、$t=\dfrac{2}{3}$ となる。よって $\mathrm{P}$ は辺 $\mathrm{AB}$ と辺 $\mathrm{B}'\mathrm{C}'$ の共通点である。
同様に、辺 $\mathrm{AC}$ 上の点を $\mathrm{Q}$ として $\overrightarrow{\mathrm{GQ}}=(1-r)\vec{a}+r\vec{c}$（$0\leqq r\leqq1$）とおくと
$$\overrightarrow{\mathrm{GQ}}=(r-1)\vec{b}+(2r-1)\vec{c}.$$
これを $\overrightarrow{\mathrm{GX}}$ と比較すると $r=t$、$2r-1=-t$ より $r=t=\dfrac{1}{3}$ となる。したがって $\mathrm{Q}$ は辺 $\mathrm{AC}$ と辺 $\mathrm{B}'\mathrm{C}'$ の共通点である。どちらも線分上のパラメータが $0$ 以上 $1$ 以下なので、辺どうしが交わる。

(4)

(3) より、直線 $\mathrm{B}'\mathrm{C}'$ は辺 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{AC}$ をそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$ から辺の長さの $\dfrac{1}{3}$ の位置で横切る。また $\mathrm{B}'\mathrm{C}'/\!/\mathrm{BC}$ なので、頂点 $\mathrm{A}$ の側に切り取られる三角形の相似比は $\dfrac{1}{3}$、面積は $\dfrac{1}{9}S$ である。対称な議論により、頂点 $\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ の側にもそれぞれ面積 $\dfrac{1}{9}S$ の三角形が切り取られる。これら三つの三角形は互いに重ならず、残る中央の六角形が $T$ と $T'$ の共通部分である。したがってその面積は
$$S-3\cdot\dfrac{1}{9}S=\dfrac{2}{3}S.$$