III関西医科大学 2023年 数学 第III問解答・解説

(1)

正三角形の高さは、底辺の中点で直角三角形を作ると
$$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$$
であるから、面積は $\sqrt3$。内接円の半径を $R=OA$ とする。三角形を各辺を底辺とする3つの三角形に分けると、それぞれの高さは $R$ なので、全体の面積は
$$\frac12 R(2+2+2)=3R.$$
よって $3R=\sqrt3$ であり、
$$\boxed{OA=R=\frac{\sqrt3}{3}}.$$

(2)〜(4)の準備

正三角形の対称性から、$A,B,C$ は内接円上で等間隔に並び、中心角はそれぞれ $120^\circ$ である。座標の原点を $O$、$x$ 軸の正の向きを $OA$ とし、$R=\sqrt3/3$ とおくと、向きを適宜選んで
$$A=(R,0),\quad B=\left(-\frac R2,\frac{\sqrt3R}{2}\right),\quad C=\left(-\frac R2,-\frac{\sqrt3R}{2}\right).$$
したがって
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0},\qquad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA} =R^2\cos120^\circ=-\frac{R^2}{2}.$$
また $|\overrightarrow{OP}|=R$ である。

(2)

$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$、$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$、$\vec{p}=\overrightarrow{OP}$ とする。点を結ぶベクトルは $\overrightarrow{PA}=\vec{a}-\vec{p}$ などであるから、
$$\begin{aligned} &\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} +\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC} +\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}\\ &=(\vec{a}\cdot\vec{b}+ \vec{b}\cdot\vec{c}+ \vec{c}\cdot\vec{a}) -2\vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) +3|\vec{p}|^2\\ &=-\frac{3R^2}{2}+3R^2 =\frac{3R^2}{2} =\boxed{\frac12}. \end{aligned}$$$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$$$$=(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})-2\vec{p}\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})+3|\vec{p}{|}^2$$$$=-\frac{3R^2}{2}+3R^2=\frac{3R^2}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}.$$

(3)

それぞれの平方を展開して和をとると
$$\begin{aligned} |\overrightarrow{PA}|^2+|\overrightarrow{PB}|^2+|\overrightarrow{PC}|^2 &=3R^2+3R^2 -2\vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\\ &=6R^2 =\boxed{2}. \end{aligned}$$$$|\overrightarrow{PA}{|}^2+|\overrightarrow{PB}{|}^2+|\overrightarrow{PC}{|}^2=3R^2+3R^2-2\vec{p}\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$$$=6R^2=\boxed{2}.$$

(4)

$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ および $\vec{a}\cdot\vec{b}=-R^2/2$ より、
$$\begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} &=(\vec{a}-\vec{p})\cdot(\vec{b}-\vec{p})\\ &=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b})+|\vec{p}|^2\\ &=\frac{R^2}{2}+\vec{p}\cdot\vec{c}. \end{aligned}$$$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(\vec{a}-\vec{p})\cdot (\vec{b}-\vec{p})$$$$=\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{p}\cdot (\vec{a}+\vec{b})+|\vec{p}{|}^2$$$$=\frac{R^2}{2}+\vec{p}\cdot \vec{c}.$$
$\vec{p}$ と $\vec{c}$ のなす角を $\theta$ とすれば、両者の長さは $R$ なので
$$\vec{p}\cdot\vec{c}=R^2\cos\theta,\qquad -1\leqq\cos\theta\leqq1.$$
したがって
$$-\frac{R^2}{2}\leqq \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} \leqq\frac{3R^2}{2}.$$
円周上で $P=C$ のとき上端、$P$ が $C$ の対蹠点のとき下端をとる。$R^2=1/3$ より
$$\boxed{\text{最大値 }\frac12,\qquad \text{最小値 }-\frac16}.$$