2群馬大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $a,b,c,d>0$ より、平方の非負性から
$$\frac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab},\qquad \frac{c+d}{2}\geqq\sqrt{cd},\qquad \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}2\geqq\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}.$$
これらを合わせると
$$\frac{a+b+c+d}{4} =\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}2 \geqq\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}2 \geqq (abcd)^{1/4}.$$
等号成立には、最初の2つの不等式で $a=b$、$c=d$、最後の不等式で $\sqrt{ab}=\sqrt{cd}$ が必要である。正であることから、これは $a=b=c=d$ と同値であり、そのとき実際に等号となる。

(2) $u=x+y$、$r=x^2+y^2+1$ とおくと $u,r>0$ で、括弧内を $T$ として
$$T=r+2u+5+\frac{25}{r} =2u+15+\frac{(r-5)^2}{r}\geqq2u+15,$$
等号は $r=5$ のときに限る。ここで (1) を $2u,5,5,5$ に適用すると
$$\left(\frac{2u+15}{4}\right)^4\geqq 2u\cdot5^3, \qquad (2u+15)^4\geqq64000u,$$
等号は $2u=5$ のときに限る。元の等式 $T^4=64000u$ が成り立つためには、以上の2つの不等式でともに等号となる必要があり、また十分でもある。したがって
$$u=\frac52,\qquad r=5,$$
すなわち $x+y=\frac52$、$x^2+y^2=4$ である。よって
$$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}2=\frac98.$$
$x,y$ は $X^2-\frac52X+\frac98=0$ の2根だから
$$X=\frac{5\pm\sqrt7}{4}.$$
したがって求める正の実数の組は
$$(x,y)=\left(\frac{5+\sqrt7}{4},\frac{5-\sqrt7}{4}\right),\quad \left(\frac{5-\sqrt7}{4},\frac{5+\sqrt7}{4}\right).$$

(1) 相加相乗平均を$(a,b),(c,d)$の各組と、それらの幾何平均同士に適用して4変数の不等式を示す。等号は3つの等号条件が同時に成立する場合、すなわち$a=b=c=d$。 (2) $s=x+y$、$r=x^{2}+y^{2}+1$とおくと括弧内$T=r+\dfrac{25}{r}+2s+5\geqq 2s+15$で、等号は$r=5$。さらに(1)を$2s,\,5,\,5,\,5$に適用し$(2s+15)^{4}\geqq 64000s$、等号は$2s=5$。元の等式では両方の下界が等号となる必要があり、$x+y=\dfrac{5}{2}$、$x^{2}+y^{2}=4$。これを解くと上の2組になる。