1群馬大学 2026年 数学 第1問解答・解説

図のような正八面体 $AB_{1}B_{2}B_{3}B_{4}C$ において、頂点にいる物体 P は、1 秒を経過するごとに、その点に確率 $\dfrac{1}{5}$ で留まるか、あるいは正八面体の 1 辺をはさんで隣り合う 4 頂点のいずれかに $\dfrac{1}{5}$ の等確率で移動する。$n$ は自然数とする。初め頂点 A にいた物体 P が $n$ 秒後に、頂点 A にいる確率を $a_{n}$、頂点 $B_{1},\,B_{2},\,B_{3},\,B_{4}$ のいずれかにいる確率を $b_{n}$、頂点 C にいる確率を $c_{n}$ とする。たとえば、$a_{1}=\dfrac{1}{5},\,b_{1}=\dfrac{4}{5},\,c_{1}=0$ である。以下の問に答えよ。

(1) $a_{n+1}$、$b_{n+1}$、$c_{n+1}$ それぞれを、$a_{n}$、$b_{n}$、$c_{n}$ の中から必要なものを用いて表せ。

(2) 数列 $\{a_{n}\}$、$\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ。