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秋田大学／2025年度

3秋田大学 2025年 数学 第3問解答・解説

いろいろな式

難易度必答 レベル 2/10 目安 10分編集部の評価

対象理工・教育文化など医学科は解かない

1問題

秋田大学2025年度第3問
次の問いに答えなさい。

(i) 多項式 x4−6x2+7x−6x^{4}-6x^{2}+7x-6 を多項式 x2−x+1x^{2}-x+1 で割ったときの商と余りを求めなさい。

(ii) 4 次方程式 x4−6x2+7x−6=0x^{4}-6x^{2}+7x-6=0 の解をすべて求めなさい。ただし、解は複素数の範囲で考えるものとする。

出典：秋田大学 2025年度 数学 第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (i)
    商 x2+x−6x^{2}+x-6、余り 00
  • (ii)
    x=2, −3, 1±3 i2x=2,\ -3,\ \dfrac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(i) の割り算で余りが 00 になるので、左辺は (x2−x+1)(x2+x−6)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x-6) と因数分解できる。あとは 2 つの 2 次方程式を解く。

解答

(i)

割り算を行うと
x4−6x2+7x−6=(x2−x+1)(x2+x−6) x^{4}-6x^{2}+7x-6=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x-6)
となり、商は x2+x−6x^{2}+x-6、余りは 00 である。

(ii)

(i) より
(x2−x+1)(x+3)(x−2)=0. (x^{2}-x+1)(x+3)(x-2)=0.
x2−x+1=0x^{2}-x+1=0 の解は x=1±3 i2x=\dfrac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2}。よって解は
x=2, −3, 1±3 i2. x=2,\ -3,\ \dfrac{1\pm\sqrt{3}\,i}{2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 整式の割り算
  • 因数分解
  • 2次方程式の解の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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