5秋田大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(i) $y'=2\sin x\cos x=\sin 2x$。$(x=\frac{\pi}{4})$ では点は $\left(\frac{\pi}{4},\frac12\right)$、傾きは1なので、接線は $(y-\frac12=x-\frac{\pi}{4})$、すなわち ($y=x-\frac{\pi}{4}+\frac12$)。

(ii)
$$\sin^2x-\frac12\cos2x=\frac{1-\cos2x}{2}-\frac12\cos2x=\frac12-\cos2x.$$
ゆえに条件は $\cos 2x\leqq\frac12$。$0\leqq2x\leqq2\pi$ で成り立つのは $\frac{\pi}{3}\leqq2x\leqq\frac{5\pi}{3}$ なので、$\frac{\pi}{6}\leqq x\leqq\frac{5\pi}{6}$。

(iii) 交点は等号 $\cos 2x=\frac12$ より $x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$。この間は差が $\frac12-\cos 2x>0$（例えば区間内では $\frac{\pi}{3}\leqq2x\leqq\frac{5\pi}{3}$ で、端点のみ $\cos 2x=\frac12$、内部では $\cos 2x<\frac12$）だから $y=\sin^2 x$ が上側である。したがって
$$S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\frac12-\cos2x\right)dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{2}\right]_{\pi/6}^{5\pi/6} =\frac\pi3+\frac{\sqrt3}{2}.$$

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