1秋田大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(i) は真数条件 $x>2$ を先に確かめてから、対数をまとめる。(ii) は相加平均と相乗平均の関係か、差をとって平方の形にする。(iii) は、データが奇数個のときは中央値を除いて前半・後半に分け、それぞれの中央値を四分位数とする。

(i)

真数条件より $x>2$。$\log_{3}(x+1)(x-2)=2$ より $(x+1)(x-2)=9$、$x^{2}-x-11=0$、$x=\dfrac{1\pm3\sqrt{5}}{2}$。$x>2$ を満たすのは $x=\dfrac{1+3\sqrt{5}}{2}$。

(ii)

$a>0,\ b>0$ より $\dfrac{b}{a}>0,\ \dfrac{a}{b}>0$ だから、相加平均と相乗平均の関係より
$$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\geqq2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{b}}=2.$$
等号は $\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$、すなわち $a^{2}=b^{2}$ のときで、$a>0,\ b>0$ より $a=b$ のとき成り立つ。

(iii)

A 組（9 人）：中央値は 5 番目で $Q_{2}=16$。前半 $11,\,13,\,13,\,14$ の中央値 $Q_{1}=13$、後半 $17,\,18,\,19,\,20$ の中央値 $Q_{3}=18.5$。四分位範囲は $18.5-13=5.5$。

B 組（8 人）：$Q_{2}=\dfrac{15+17}{2}=16$。前半 $11,\,12,\,12,\,15$ の中央値 $Q_{1}=12$、後半 $17,\,18,\,19,\,20$ の中央値 $Q_{3}=18.5$。四分位範囲は $18.5-12=6.5$。

中央付近の半数のデータが散らばる幅を表す四分位範囲は B 組のほうが大きいので、B 組のほうが散らばり度合いが大きい。