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秋田大学／2025年度

2秋田大学 2025年 数学 第2問解答・解説

二次関数微分・積分の考え

難易度必答 レベル 2/10 目安 15分編集部の評価

対象教育文化・情報データ科学医学科は解かない

1問題

秋田大学2025年度第2問
放物線 y=−x2+5xy=-x^{2}+5x を AA とする。次の問いに答えなさい。

(i) AA を平行移動して得られた放物線 BB は、2 点 (−3, 1)(-3,\,1)、(−4, −2)(-4,\,-2) を通る。BB の頂点の座標を求めなさい。

(ii) 点 (3, 7)(3,\,7) を通り、AA に接する直線の方程式をすべて求めなさい。

(iii) AA と xx 軸で囲まれた図形の面積 SS を求めなさい。

出典：秋田大学 2025年度 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (i)
    (−2, 2)(-2,\,2)
  • (ii)
    y=x+4, y=−3x+16y=x+4,\ y=-3x+16
  • (iii)
    S=1256S=\dfrac{125}{6}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

平行移動しても x2x^{2} の係数は変わらないので、BB は y=−x2+px+qy=-x^{2}+px+q とおける。(ii) は接点の xx 座標を tt とおいて接線の式をつくり、点 (3, 7)(3,\,7) を通る条件から tt を求める。

解答

(i)

B:y=−x2+px+qB:y=-x^{2}+px+q とおくと、2 点を通る条件から
1=−9−3p+q,−2=−16−4p+q. 1=-9-3p+q,\qquad -2=-16-4p+q.
これを解いて p=−4, q=−2p=-4,\ q=-2。y=−x2−4x−2=−(x+2)2+2y=-x^{2}-4x-2=-(x+2)^{2}+2 だから、頂点は (−2, 2)(-2,\,2)。

(ii)

接点の xx 座標を tt とすると、y′=−2x+5y'=-2x+5 より接線は
y=(−2t+5)(x−t)−t2+5t=(−2t+5)x+t2. y=(-2t+5)(x-t)-t^{2}+5t=(-2t+5)x+t^{2}.
点 (3, 7)(3,\,7) を通るから 7=3(−2t+5)+t27=3(-2t+5)+t^{2}、t2−6t+8=0t^{2}-6t+8=0、t=2, 4t=2,\,4。
t=2t=2 のとき y=x+4y=x+4、t=4t=4 のとき y=−3x+16y=-3x+16。

(iii)

AA と xx 軸の交点は x=0, 5x=0,\,5 で、0≦x≦50\leqq x\leqq5 で −x2+5x≧0-x^{2}+5x\geqq0 だから
S=∫05(−x2+5x) dx=536=1256. S=\int_{0}^{5}(-x^{2}+5x)\,dx=\dfrac{5^{3}}{6}=\dfrac{125}{6}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 放物線の平行移動
  • 接線の方程式
  • 定積分と面積

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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