5鹿児島大学 2024年 数学 第5問解答・解説

$n$ を自然数とし、次の整式を考える。
$$f(x)=x^{6n}+x^{3n}-2,$$
$$g(x)=x^2+x+1,\qquad h(x)=x^2-x+1$$
(1) 方程式 $g(x)=0$ の解は $x^3-1=0$ を満たし、方程式 $h(x)=0$ の解は $x^3+1=0$ を満たすことを示せ。
ここで、$f(x)$ を2次式で割ると、商が $(6n-2)$ 次式、余りが1次以下の整式になることに注意すると
$$f(x)=g(x)q(x)+r(x),\qquad q(x)\text{は }(6n-2)\text{次式},$$
$$r(x)\text{は1次以下の整式}$$
と書ける。
(2) $r(x)=0$、つまり $f(x)$ は $g(x)$ で割り切れることを示せ。
(3) $f(x)$ が $h(x)$ で割り切れるならば、$n$ は偶数であることを示せ。
(4) $n=1$ のとき、方程式 $f(x)=0$ のすべての虚数解を極形式で答えよ。