2名古屋大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$\alpha=(1-i)/\sqrt2$ とすると $\alpha^4=-1$。係数を比べると
$$P(\alpha z)=\alpha^3z^3-3\alpha^2z^2+(c+2)\alpha z-c =-\alpha^7z^3+3\alpha^6z^2+(c+2)\alpha z-c=Q(z).$$
(1)
$$P(z)=z^3-3z^2+(c+2)z-c=(z-1)(z^2-2z+c).$$
従って解は $z=1,\ 1+i\sqrt{c-1},\ 1-i\sqrt{c-1}$。複素数平面では $(1,0)$、$(1,\sqrt{c-1})$、$(1,-\sqrt{c-1})$ の3点である。
(2) $Q(z)=0$ は $\alpha z$ が(1)の3根のいずれかであることと同値なので、根は $\alpha^{-1},\alpha^{-1}(1\pm id)$、ただし $d=\sqrt{c-1}>0$。ここで $\alpha^{-1}=(1+i)/\sqrt2$ だから実部はそれぞれ
$$\frac1{\sqrt2},\qquad \frac{1-d}{\sqrt2},\qquad \frac{1+d}{\sqrt2}.$$
最大のものは
$$\alpha^{-1}(1-id)=\frac{1+d+i(1-d)}{\sqrt2}.$$
(3) 共通解zはPの根であり、同時に $\alpha z$ もPの根である。$z=1$ では $\alpha z$ の実部が $1/\sqrt2\ne1$。$z=1-id$ では $\alpha z$ の実部が $(1-d)/\sqrt2<1$。従って $z=1+id$ の場合だけを調べればよい。
$$\alpha(1+id)=\frac{1+d+i(d-1)}{\sqrt2}$$
がPの根であるためには、その実部が1である必要があるから $d=\sqrt2-1$。このとき虚部は $-d$ で、実際に $1-id$ というPの根になる。よって
$$c=1+d^2=4-2\sqrt2,\qquad \beta=1+i(\sqrt2-1).$$
(1) 複素数平面上の図示
ここで $d=\sqrt{c-1}>0$ とおく。