6秋田大学 2025年 数学 第6問解答・解説

$z=\dfrac{\beta}{\alpha}$ とおく。$|\alpha|=\sqrt{3}\neq0$ より定義でき、$|z|=\dfrac{|\beta|}{|\alpha|}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ である。また $4\alpha-\beta=\alpha(4-z)$ だから、
$$|4-z|=\dfrac{|4\alpha-\beta|}{|\alpha|}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=|z|.$$
$z=x+yi$ とすると、$(x-4)^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}$ より $x=2$。さらに $x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=\dfrac{16}{3}$ から $y^{2}=\dfrac{4}{3}$、したがって $y=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ である。よって $\dfrac{\beta}{\alpha}=2\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}i$。

複素数平面で、原点 $\mathrm{O}$、$\alpha$、$\beta$ を頂点とする三角形の面積は $S=\dfrac{1}{2}\left|\,\overline{\alpha}\beta\text{ の虚部}\,\right|$ である。$\beta=\alpha z$ より $\overline{\alpha}\beta=|\alpha|^{2}z=3z$ なので、
$$S=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\left|z\text{ の虚部}\right|=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$
成分による確認：$\alpha=u+vi$、$z$ の虚部を $w=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ とおくと、$z=2+wi$ より $\beta=\alpha(2+wi)=(2u-wv)+i(wu+2v)$。したがって三角形の面積の 2 倍は
$$\left|u\cdot(\beta\text{ の虚部})-v\cdot(\beta\text{ の実部})\right|=|w|(u^{2}+v^{2})=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot3=2\sqrt{3}$$
となり、面積は $\sqrt{3}$ である。