3山口大学 2024年 数学 第3問解答・解説

動点 $R$ が正四面体 $OABC$ の辺上を動く。動点 $R$ は時刻 $t=0$ のとき点 $O$ にあり、時刻が1進むごとに、他の3つの頂点のいずれかにそれぞれ $\frac{1}{6}$ の確率で移動しているか、$\frac{1}{2}$ の確率で元の頂点にある。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
(i) 時刻 $t=2$ のとき、$R$ が点 $O$ にある確率を求めなさい。
(ii) 時刻 $t=2$ のとき、$R$ が点 $A$ にある確率を求めなさい。
(iii) 時刻 $t=3$ のとき、$R$ が点 $A$ にある確率を求めなさい。
(iv) 時刻 $t=3$ において $R$ が点 $A$ にあるとき、時刻 $t=2$ のときに $R$ が点 $O$ にあった条件付き確率を求めなさい。

(2) $n$ を自然数とする。時刻 $t=n$ のとき動点 $R$ が $O,A,B,C$ の各頂点にある確率をそれぞれ $z_n,a_n,b_n,c_n$ とする。
(i) 次の等式が成り立つことを数学的帰納法により証明しなさい。
$$a_n=b_n=c_n$$

(ii) $z_n$ を $n$ の式で表しなさい。
(iii) 極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}z_n$ を求めなさい。