2東海大学 2024年 数学 第2問解答・解説

袋の黒玉の数を3つの状態に分け、各状態で最初に移す玉の色と戻す玉の色で場合分けして遷移の確率を求めた。全体の確率の和と一次漸化式で各空欄を求めた。

操作後の $B$ の黒玉の数を状態 $2$、$1$、$0$ とし、各状態から次の状態への確率を調べる。

状態 $2$ では、$B$ から黒玉を $A$ に移した後、$A$ の 3 個のうち 1 個が黒玉である。したがって $2\to2$ は $\dfrac{1}{3}$、$2\to1$ は $\dfrac{2}{3}$、$2\to0$ は $0$ である。

状態 $1$ では両袋に黒玉と白玉が 1 個ずつある。最初に $B$ から黒玉を移す確率は $\dfrac{1}{2}$ で、その後 $A$ から白玉を戻す確率は $\dfrac{1}{3}$、黒玉を戻す確率は $\dfrac{2}{3}$ である。また、最初に白玉を移す確率も $\dfrac{1}{2}$ で、その後 $A$ から黒玉を戻す確率は $\dfrac{1}{3}$、白玉を戻す確率は $\dfrac{2}{3}$ である。よって $1\to2$ は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$、$1\to0$ は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$、$1\to1$ は $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$ である。

状態 $0$ では $B$ の 2 個は白玉、$A$ の 2 個は黒玉である。白玉を $A$ に移したあと、$A$ の 3 個のうち 2 個が黒玉なので、$0\to1$ は $\dfrac{2}{3}$、$0\to0$ は $\dfrac{1}{3}$、$0\to2$ は $0$ である。

(1)

初期状態は $2$ だから $P_{1}=\dfrac{1}{3}$、$Q_{1}=\dfrac{2}{3}$、$R_{1}=0$ である。

(2)

2 回後は
$$P_{2}=\dfrac{1}{3}P_{1}+\dfrac{1}{6}Q_{1}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9},\quad Q_{2}=\dfrac{2}{3}(P_{1}+Q_{1}+R_{1})=\dfrac{2}{3},\quad R_{2}=\dfrac{1}{6}Q_{1}+\dfrac{1}{3}R_{1}=\dfrac{1}{9}.$$

(3)

状態 $2$ から次も $2$ となる確率は $\dfrac{1}{3}$ なので、その確率は $\dfrac{1}{3}P_{n}$ である。

(4)

状態 $1$ から次に $2$ となる確率は $\dfrac{1}{6}$ なので、その確率は $\dfrac{1}{6}Q_{n}$ である。

(5)

状態 $0$ から $2$ へ移ることはないため、その確率は $0$ である。よって
$$P_{n+1}=\dfrac{1}{3}P_{n}+\dfrac{1}{6}Q_{n}$$
である。

(6)

どの状態からも次に状態 $1$ となる確率は $\dfrac{2}{3}$ である。したがって
$$Q_{n+1}=\dfrac{2}{3}P_{n}+\dfrac{2}{3}Q_{n}+\dfrac{2}{3}R_{n}=\dfrac{2}{3}(P_{n}+Q_{n}+R_{n})=\dfrac{2}{3}.$$

(7)

よって $n\geqq1$ では $Q_{n}=\dfrac{2}{3}$ であり、
$$P_{n+1}=\dfrac{1}{3}P_{n}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}P_{n}+\dfrac{1}{9},\qquad P_{1}=\dfrac{1}{3}.$$
定数解は $\dfrac{1}{6}$ だから、$P_{n+1}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\left(P_{n}-\dfrac{1}{6}\right)$。これを繰り返すと
$$P_{n}-\dfrac{1}{6}=\left(P_{1}-\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}.$$
したがって $P_{n}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$ である。