山口大学／2024年度／前期

1山口大学 2024年数学第1問解答・解説

三角関数微分・積分の考え積分法

1問題

山口大学2024年度第1問

a

を定数とする。実数全体を定義域とする関数

f(x),g(x)

に対し

C=\int_0^1 f(x)g(a-x)\,dx

と定めたとき、次の

f(x),g(x)

について

C

をそれぞれ

a

を用いて表しなさい。
(1)

f(x)=x,\quad g(x)=x^2

(2)

f(x)=\sin\pi x,\quad g(x)=x

(3)

f(x)=x,\quad g(x)=\begin{cases}x&(x\geqq0),\\0&(x<0)\end{cases}

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

定義は

C=\int_0^1f(x)g(a-x)\,dx

。
(1) 指定関数では

C=\int_0^1x(a-x)^2dx =\int_0^1(a^2x-2ax^2+x^3)dx =\frac{a^2}{2}-\frac{2a}{3}+\frac14.

(2)

C=a\int_0^1\sin(\pi x)dx-\int_0^1x\sin(\pi x)dx =\frac{2a}{\pi}-\frac1\pi.

第2積分は部分積分で

1/\pi

。
(3)

g(a-x)=a-x

は

x\leqq a

のときだけ正部分であり、それ以外は0。したがって

C=\begin{cases} 0,&a\leqq0,\\[2pt] \int_0^a x(a-x)dx=a^3/6,&0<a<1,\\[2pt] \int_0^1x(a-x)dx=a/2-1/3,&a\geqq1. \end{cases}

境界

a=0,1

でも隣接する値は一致する。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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