2山口大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1)

$8!$ に含まれる $2$、$3$、$5$、$7$ の個数（素因数の指数）はそれぞれ $7$、$2$、$1$、$1$ である。したがって $M_{2}(8!)=7$、$D(8!)=(7+1)(2+1)(1+1)(1+1)=96$ である。

(2)

$30!$ に含まれる $2$、$3$ の指数はそれぞれ
$$\left[\dfrac{30}{2}\right]+\left[\dfrac{30}{4}\right]+\left[\dfrac{30}{8}\right]+\left[\dfrac{30}{16}\right]=26,\qquad \left[\dfrac{30}{3}\right]+\left[\dfrac{30}{9}\right]+\left[\dfrac{30}{27}\right]=14$$
である。よって $M_{2}(30!)=26$、$M_{3}(30!)=14$ である。また $12^{m}=2^{2m}\cdot3^{m}$ だから、これが $30!$ を割り切る条件は $2m\leqq26$、$m\leqq14$ である。よって $M_{12}(30!)=13$ である。

(3)

$30!$ における素数 $p\geqq5$ の指数を $e_{p}$ とし、$C$ を $p\geqq5$ の素数全体にわたる $(e_{p}+1)$ の積とおく。すると $d=27\cdot15\cdot C$ である。
$1\leqq i\leqq13$ では $\dfrac{30!}{12^{i}}$ における $2$、$3$ の指数は $26-2i$、$14-i$ であるから、
$$\sum_{i=1}^{13}D\left(\dfrac{30!}{12^{i}}\right)=C\sum_{i=1}^{13}(27-2i)(15-i)=C\sum_{i=1}^{13}(405-57i+2i^{2}).$$
$\sum_{i=1}^{13}i=91$、$\sum_{i=1}^{13}i^{2}=819$ より、右辺は $C(405\cdot13-57\cdot91+2\cdot819)=1716C=\dfrac{1716}{405}d=\dfrac{572}{135}d$ である。よって答えは $\dfrac{572}{135}d$ である。