II慶應義塾大学 2024年 数学 第II問解答・解説

以下の文章の空欄に適切な数を入れて文章を完成させなさい。
袋が2つ（袋1と袋2）および赤玉2個、白玉4個が用意されている。それぞれの袋に玉が3個ずつ入った状態として、次の3つがあり得る。

状態A：袋1に入っている赤玉が0個である状態

状態B：袋1に入っている赤玉が1個である状態

状態C：袋1に入っている赤玉が2個である状態
上記の各状態に対して、次の2段階からなる操作 $T$ を考える。

操作 $T$：袋1から玉を1個無作為に取り出し、それを袋2に入れる。次に、袋2から玉を1個無作為に取り出し、それを袋1に入れる。

(1) $X,Y$ をそれぞれ $A,B,C$ のいずれかとする。状態 $X$ に対し操作 $T$ を1回施した結果、状態 $Y$ になる確率を $P(X\to Y)$ で表す。このとき
$$P(A\to A)=\boxed{\text{あ}},\quad P(A\to B)=\boxed{\text{い}},\quad P(B\to A)=\boxed{\text{う}},$$
$$P(B\to B)=\boxed{\text{え}},\quad P(C\to A)=\boxed{\text{お}},\quad P(C\to B)=\boxed{\text{か}}$$
である。

(2) 以下、$n$ を自然数とし、状態 $B$ から始めて操作 $T$ を繰り返し施す。操作 $T$ を $n$ 回施し終えたとき、状態 $A$ である確率を $a_{n}$、状態 $B$ である確率を $b_{n}$、状態 $C$ である確率を $c_{n}$ とする。$n\geqq2$ とするとき、$a_{n},b_{n}$ と $a_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}$ の間には次の関係式が成り立つ。
$$\begin{cases} a_{n}=\boxed{\text{あ}}a_{n-1}+\boxed{\text{う}}b_{n-1}+\boxed{\text{お}}c_{n-1},\\ b_{n}=\boxed{\text{い}}a_{n-1}+\boxed{\text{え}}b_{n-1}+\boxed{\text{か}}c_{n-1}. \end{cases}$$
したがって $b_{n}$ と $b_{n-1}$ の間には次の関係式が成り立つことがわかる。
$$b_{n}=\boxed{\text{き}}b_{n-1}+\boxed{\text{く}}$$
これより $n\geqq1$ に対して $b_{n}$ を $n$ の式で表すと
$$b_{n}=\boxed{\text{け}}+\boxed{\text{こ}}\left(\boxed{\text{さ}}\right)^{n}$$
となる。さらに $d_{n}=\frac{a_{n}}{\left(\boxed{\text{あ}}\right)^{n}}$ とおくとき、$d_{n}$ を $n$ の式で表すと
$$d_{n}=\boxed{\text{し}}\left\{\left(\boxed{\text{す}}\right)^{n}-\left(\boxed{\text{せ}}\right)^{n}\right\}$$
となる。