4熊本大学 2024年 数学 第4問解答・解説

差の平方を因数分解し、3 の冪の正の因数組を指数で分類する。平方根条件は $(2x+3^{m})^{2}-(2y)^{2}=3^{2m}$ に変形して同様に数える。

以下、$N=3^{m}$ とおく。

(問1)\ $k^{2}-\ell^{2}=(k-\ell)(k+\ell)=N$ であり、$k>\ell$ だから、$a=k-\ell$、$b=k+\ell$ とおくと $0<a<b$、$ab=3^{m}$ である。したがって、ある整数 $i$ により $a=3^{i}$、$b=3^{m-i}$ と書け、$i<m-i$、すなわち $0\leqq i\leqq\left[\dfrac{m-1}{2}\right]$ である。逆に、この範囲の各 $i$ に対して $k=\dfrac{3^{i}+3^{m-i}}{2}$、$\ell=\dfrac{3^{m-i}-3^{i}}{2}$ は正の自然数で、条件を満たす。よって組の個数は
$$\left[\dfrac{m-1}{2}\right]+1=\left[\dfrac{m+1}{2}\right]$$
である。

(問2)、(問3)

$y=\sqrt{x(x+N)}$ が整数であるとする。平方を展開すると $(2x+N)^{2}-(2y)^{2}=N^{2}=3^{2m}$ となる。$a=2x+N-2y$、$b=2x+N+2y$ とおけば、$0<a<b$、$ab=3^{2m}$ であり、$a$、$b$ はともに奇数である。よって、ある整数 $i$ により $a=3^{i}$、$b=3^{2m-i}$ と書け、$i<m$、すなわち $i=0,\,1,\,\cdots,\,m-1$ である。このとき
$$x=\dfrac{3^{i}+3^{2m-i}-2\cdot3^{m}}{4}$$
となる。
逆に、各 $i=0,\,1,\,\cdots,\,m-1$ に対し、この式の分子は 4 の倍数である。実際、$i$ と $2m-i$ は同じ偶奇なので $3^{i}\equiv3^{2m-i}\pmod4$ であり、$3^{i}+3^{2m-i}\equiv2\pmod4$。また $2\cdot3^{m}\equiv2\pmod4$ である。$r=m-i\geqq1$ とおくと、分子は $3^{m-r}(3^{r}-1)^{2}>0$ であるから、$x$ は自然数である。$y=\dfrac{3^{2m-i}-3^{i}}{4}$ も自然数であり、定義から $(2x+N)^{2}-(2y)^{2}=N^{2}$、したがって $y^{2}=x(x+N)$ となる。よって、条件を満たす自然数 $x$ はちょうどこの $i$ によって得られる。
$i=0$ のとき $x=\dfrac{1+3^{2m}-2\cdot3^{m}}{4}=\dfrac{(3^{m}-1)^{2}}{4}\equiv1\pmod3$ である。一方、$i\geqq1$ のとき分子は 3 の倍数であり、4 は 3 の倍数でないから $x$ も 3 の倍数である。したがって、3 の倍数でないものは $x=\dfrac{(3^{m}-1)^{2}}{4}$ のみである。
最後に、各 $i$ に対応する $x$ を $x_{i}$ と書く。$0\leqq i\leqq m-2$ では $2m-i-1>i$ だから、
$$x_{i+1}-x_{i}=\dfrac{3^{i}-3^{2m-i-1}}{2}<0.$$
よって $x_{0},\,x_{1},\,\cdots,\,x_{m-1}$ は相異なる。該当する自然数 $x$ の個数は $m$ 個である。