3山口大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$xy$ 平面上の原点を $O$ とし、2点 $P_{1}(1,0),Q_{1}(1,\sqrt{3})$ をとる。自然数 $n$ に対して、$x$ 座標が $OP_{n}$ の長さを $\frac{3}{2}$ 倍して $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ を加えた値となる $x$ 軸上の点を $P_{n+1}$ とおく。$P_{n}$ を通り直線 $OQ_{1}$ と平行な直線と、$P_{n+1}$ を通り $x$ 軸に垂直な直線との交点を $Q_{n+1}$ とする。$\triangle Q_{n+1}P_{n}P_{n+1}$ を $T_{n}$ とおく。次の問いに答えなさい。

(1) $P_{2}$ および $P_{4}$ の $x$ 座標の値を求めなさい。

(2) $P_{n}$ の $x$ 座標の値を $\alpha_{n}$ とするとき、$\alpha_{n}$ を $n$ を用いて表しなさい。

(3) $\angle P_{1}OQ_{1}$ の二等分線を $l$ とする。自然数 $n$ に対して、$T_{n}$ の辺 $P_{n}Q_{n+1}$ と $l$ の交点の座標を求めなさい。

(4) 自然数 $n$ に対して、$T_{n}$ から $l$ によって切り取られる三角形の面積を $s_{n}$ としたとき、無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}s_{n}$ の和を求めなさい。