4山形大学 2023年 数学 第4問解答・解説

次のように定められた数列 $\{a_{n}\}$ がある。
$$a_{1}=4,\qquad a_{n+1}=2a_{n}-3\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$
また、数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $b_{n}$ とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) 数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{b_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(3) 自然数 $n$ に対して、$n^{2}+1$ を 4 で割ったときの余りを $c_{n}$ とする。このとき、次の (i)、(ii) に答えよ。

(i) $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}c_{k}$ を求めよ。

(ii) $\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}b_{k}c_{k}$ を求めよ。