5山形大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

(i)

$f(x)=x+1+\dfrac{a+1}{x-1}\ (x\ne 1)$ なので、$f'(x)=1-\dfrac{a+1}{(x-1)^{2}}$ である。
$a+1<0$ なら、全定義域で導関数が正となり、極値はない。
$a+1>0$ なら $s=\sqrt{a+1}>0$ として、導関数の零点は $x=1\pm s$ である。$x=1-s$ では正から負となり極大、$x=1+s$ では負から正となり極小である。$a=-1$ は除外済みである。

(ii)

(i) の極小点 $x=1+s$ での極小値は $f(1+s)=2+2s$ である。これが 6 なら $s=2$ となり、$a+1=4$、すなわち $a=3$ である。

(2)

(i)

$h(x)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}$ とおくと、$h'(x)=4x^{3}+6x^{2}-6x$ である。$h'(1)=4$、$h(1)=0$ なので、接線は $y=4(x-1)$、すなわち $y=4x-4$ である。

(ii)

$h(x)-(4x-4)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4=(x-1)^{2}(x+2)^{2}$ である。よって共有点の $x$ 座標は $1,\ -2$ であり、接線の式に代入すると、共有点の座標は $(1,\,0),\ (-2,\,-12)$ となる。

(iii)

$(x-1)^{2}(x+2)^{2}\geqq 0$ なので、曲線は接線の上側にあり、囲まれる部分は $-2\leqq x\leqq 1$ の範囲にある。面積は
$$\begin{aligned} \displaystyle\int_{-2}^{1}\left(x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4\right)dx &=\left[\dfrac{x^{5}}{5}+\dfrac{x^{4}}{2}-x^{3}-2x^{2}+4x\right]_{-2}^{1}\\ &=\dfrac{81}{10}. \end{aligned}$$$${\int }_{-2}^1\left(x^4+2x^3-3x^2-4x+4\right)dx={\left[\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{2}-x^3-2x^2+4x\right]}_{-2}^1$$$$=\frac{81}{10}.$$