6山形大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1)

$P=(u,v)$、$v>0$ とおくと $v^2=4pu$ である。接線は $vy=2p(x+u)$ なので、$x$ 軸との交点は $(-u,0)$ である。
したがって $u=q>0$、$v=2\sqrt{pq}$ となる。

(2)

$h=2\sqrt{pq}$、$L=\sqrt{q^2+h^2}$ とおき、中心を $(X,R)$ とする。
円は $x$ 軸に接し、$P$ の $y$ 座標が正なので、中心は上半平面にあり、半径は $R>0$ である。
$OP$ と $P$ で接する条件から $qX+hR=L^2$ となる。また中心から $P$ までの距離の二乗が $R^2$ であることから、$(X-q)^2+h^2-2hR=0$ である。
消去すると $X^2=L^2$ となる。$x$ 軸への接点の $x$ 座標は中心の $x$ 座標と等しいので、$D_1$ では $-L$、$D_2$ では $L$ である。

(3)

(2)の $qX+hR=L^2$ に $X=-L,L$ を代入すると、半径はそれぞれ $R=\frac{L(L+q)}h,\frac{L(L-q)}h$ である。
$h>0,L>q$ なので両方とも正であり、所定の円が得られる。

(4)

$r_1^2+r_2^2=\frac{L^2\{(L+q)^2+(L-q)^2\}}{4pq}=\frac{L^2(L^2+q^2)}{2pq}$ である。
$L^2=q(q+4p)$、$L^2+q^2=2q(q+2p)$ を代入すると、$r_1^2+r_2^2=\frac{q(q+4p)(q+2p)}p$ となる。円面積の和はこの $\pi$ 倍である。

(5)

$pq=1-q^2$、$p,q>0$ より $0<q<1$、$p=\frac{1-q^2}q$ である。
$u=q^2\quad(0<u<1)$ とおくと、$\frac S\pi=\frac{(4-3u)(2-u)}{1-u}=7-3u+\frac1{1-u}$ である。
$v=1-u\quad(0<v<1)$ とすれば、相加相乗平均により $\frac S\pi=4+3v+\frac1v\geqq4+2\sqrt3$ となる。
等号は $3v=\frac1v$、すなわち $v=\frac1{\sqrt3}$ で達成し、$q^2=1-\frac1{\sqrt3}$ である。